Et udtryk |
Et samlet "regnestykke", der kan indeholde alle typer operationer. Fx 3*sin(2x) - 4/12 - 18*(2+1) |
Et led |
En del af et udtryk der står plus eller minus foran. I eksemplet ovenfor er der 3 led. |
En faktor |
Et udtryk eller tal der er ganget på noget andet. Det er lige meget om det står foran eller bagved. |
En addend |
Et udtryk eller tal der er lagt til. |
En sum |
Resultatet når man har lagt to udtryk eller tal sammen. |
Et produkt | Resultatet når man har ganget to udtryk eller tal sammen. |
En ligning |
To udtryk med et lighedstegn i mellem. |
En ulighed | To udtryk med et "større end" (> ) eller "mindre end (<) i mellem. |
En koefficient |
Det samme som en faktor, men normalt skrevet foran. Fx er 3 en koefficient i udtrykket 3x. |
Et udsagn |
En "påstand". Typisk er det to ligninger med et "ensbetydende tegn" (⇔) i mellem. |
At lægge samme tal til på begge sider |
|
At trække samme tal fra på begge sider |
|
At gange med samme tal på begge sider |
Dog ikke tallet 0 |
At dividere med samme tal på begge sider | Dog ikke tallet 0 |
At reciprokkere på begge sider |
Når begge nævnere er forskellige fra 0 |
At anvende en vilkårlig funktion på begge sider |
Det kræver at funktionen er injektiv, samt at begge sider ligger i dens definitionsmængde. |
Et 2. gradspolynomium er en funktion med forskriften: Grafen for f(x) kaldes en parabel og de tre koefficienter a, b og c har hver deres betydning for parablens facon og placering i koordinatsystemet. Hvis a er positiv vender parablens ben opad, og ellers nedad. c er y-koordinaten til grafens skæring med y-aksen. b er hældningen af grafens tangent hvor den skærer y-aksen. (negativ på figuren) Når a og b har samme fortegn ligger toppunktet til venstre for y-aksen ellers til højre. |
. |
Grafen for et andengradspolynomium er en parabel. Den har en lodret symmetriakse som skærer grafen i toppunktet. Det er det øverste punkt hvis a<0 og det nederste hvis a> 0. x-koordinaten til toppunktet er og y-koordinaten er |
. |
Grafen for enhver funktion kan forskydes opad ved at lægge q til forskriften. Tilsvarende kan enhver graf forskydes med p i x-retningen ved at erstatte x med x-p. Det gælder også for en parabel. Det viser sig at ethvert 2.gradspolynomium kan fremstilles ved parallelforskydning af grafen for f(x) = ax 2 med henholdsvis p i x-retningen og q i y-retningen. Dette udsagn betyder at der altid findes et p og et q så: |
. |
Ligningen for en ret linje er Definitionsmængden og værdimængde er begge hele R. Konstanten b giver os skæringen med y-aksen da f(0)=a*0+b=b. Konstanten a fortæller os hvor meget grafen går op eller ned når vi går et skridt mod højre. a kaldes hældningskoefficienten og den fortæller om grafen stiger eller falder når vi øger x. Når a er positiv er funktionen voksende, og når a er negativ er funktionen aftagende. Hvis a er 0 er funktionen konstant og grafen er en vandret linje. |
. |
Ligningen for eksponentiel vækst er Definitionsmængden er hele R og værdimængden er R + . Konstanten b giver os skæringen med y-aksen da f(0)=b. Konstanten a kaldes fremskrivningsfaktoren og og tallet r = a-1 kaldes vækstraten. Vækstraten er den brøkdel y stiger med når x øges med 1. Når a er større end 1 (og r > 0) er funktionen voksende. Når a er mindre end 1 (og r < 0) er funktionen aftagende. |
. |
En eksponentiel vækst har som den eneste funktion den egenskab at en tilvækst af en bestemt størrelse fordobler y-værdien. Dvs det er lige meget hvilken x-værdi vi starter i, Der findes en bestemt tilvækst der fordobler y, uanset startsted. Denne tilvækst kalder vi fordoblingskonstanten og den kan beregnes ved formlen Som det fremgår af figuren kan den aflæses ved at vælge 2 y-værdier hvor den ene er dobbelt så stor som den anden. T 2 er så afstanden mellem de tilhørende x-værdier. |
. |
Ligningen for en potensfunktions graf er Definitions og værdimængde er begge R + og Grafen går altid gennem punktet (1,b) da f(1)=b. Konstanten a fortæller hvor om grafens stiger eller falder når vi øger x. Når a er positiv er funktionen voksende. Når a er negativ er funktionen aftagende. Hvis a er 1 er funktionen en ret linje med hældning b. Når a er større end 1 er grafen opad krum. Når a er mellem 0 og 1 er grafen nedad krum. |
. |
Logaritmefunktioner kan defineres som inverse funktioner til eksponential funktioner.
Til enhver eksponential funktion med grundtal a er der altså en invers som vi læser højt som "log-a til x". Grafen for en invers funktion til f, fås ved spejling af grafen for f selv i linjen men ligning y = x. (den ene diagonal i koordinatsystemet) Dermed er det klart log a (1) er 0 for alle a, og log a (a) er 1 for alle a. Vi kan også konkludere at definitionsmængden er R + og værdimængden er hele R. |
. |
Som navnet fortæller er ensvinklede trekanter 2 trekanter der har samme vinkler. Dvs de har samme "facon", men kan have forskellig størrelse. Hvis vi navngiver som vist på figuren gælder der nogle proportionaliteter. |
Forholdet mellem sidelængder i en trekant er lig forholdet mellem de tilsvarende sider i den anden trekant Her er det opskrevet for siderne a og b, det samme gælder også for parrene (b,c) og (c,a) |
Ligningen kan omskrives og man har dermed også at forholdet mellem to tilsvarende sider i de to trekanter er konstant for alle par af tilsvarende sider. Dette forhold k, er det vi kalder størrelsesforholdet, målestoksforholdet eller zoomfaktoren. I eksemplet på figuren er k=2. |
En retvinklet trekant er en trekant hvor en vinkel er 90 grader. Den side der ligger overfor er den længste og kaldes hypotenusen. De to andre sider kaldes kateter. I en retvinklet trekant gælder PYTHAGORAS SÆTNING Talsæt bestående af hele tal der tilfredsstiller Pythagoras sætning kaldes Pythagoræiske talsæt. Det mindste sæt er (3,4,5), det er den der er vist på figuren. |
. |
Da de fire trekanter og det indre kvadrat netop dækker det ydre kvadrat er summen af de fire trekanters areal og det indre kvadrats areal lig arealet af det ydre kvadrat dvs. Parenteserne ganges ud Vi trækker 2ab fra på begge sider og får det ønskede |
Vi betragter et kvadrat ABCD. På alle sider afmærkes et punkt således at der også kan tegnes et indvendigt kvadrat EFGH. Hermed opstår 4 identiske retvinklede trekanter. Den ene er fremhævet med rød og siderne er kaldt a, b og c. . |
Når navngivningen er som på figuren til højre, kan de to formler også skrives |
. |
Sinus og cosinus kan også defineres via enhedscirklen. Man definerer at koordinaterne til retningspunktet P er (cos(v), sin(v)). Denne definition tager sig anderledes ud, men det ses på figuren at koordinaterne til P er lig kateterne til trekanten fremhævet med rødt. Forstørres eller formindskes denne trekant ændres forholdet mellem siderne ikke så definitionen ovenfor stemmer med den nye. Pythagoras sætning anvendt på trekanten i enhedscirklen giver Denne formel kaldes ofte idiotformlen. Det er et særligt dansk navn, hvor vores modersmål viser sig fra sin bedste side. |
. |
Arealet af en vilkårlig trekant er giver ved A=½*h*g. Formlen kræver imidlertid at man kender h. Vores nye funktion sinus sætter os imidlertid i stand til at beregne h. Bruger vi betegnelserne på figuren til højre ses det at vælger vi a som grundlinje bliver højden h=sin(C)*b. Dermed bliver formlen for arealet af en vilkårlig trekant |
. |
Trekanten ABC kan via højden h opdeles i 2 retvinklede trekanter AHC og ABH. Vi kan opskrive Pythagoras sætning for dem begge. |
. |
.
SEKANT OG TANGENT På figuren ses en sekant der går gennem punkterne (x 0 , f(x 0 )) og (x, f(x)). Hældningen af sekanten kan bestemmes ved at indsætte koordinaterne i formlen for hældningkoefficient ud fra to punkter Hældningen af en sekant til grafen for en funktion kaldes differenskvotienten. Ideen er nu, at se på grænseværdien, dvs den værdi som differenskvotiententen nærmer sig når x nærmer sig x 0 . Geometrisk svarer det til at punktet x på x-aksen flyttes mod x 0 . Punktet (x, f(x)) på grafen (det røde punk til højre) tvil så flytte med og det vil sekanten også. Sekantens hældning vil så nærme sig tangentens hældning. |
. |
KNÆKPUNKTER Hvis grafen for en funktion har et "knæk" vil sekanthældningen IKKE nærmer sig samme værdi fra højre og venstre. En funktion er IKKE differentiabel i eventuelle knækpunkter. |
. |
PUNKTER MED DISKONTINUITET Hvis funktionen ikke er kontinuert (har en sammenhængende graf) i et punkt, vil funktionen heller ikke være differentiabel der. En funktion kan kun have en y-værdi for hver x-værdi. Så punkterne P 0 og Q med x-koordinaten x 0 kan ikke begge være en del af grafen. Her er det P der ligger på grafen, Q er IKKE en del af den. Når vores løbende punkt P ligger til højre for P 0 , ligger det på den øverste del af grafen, og en sekant er vist på figuren. Grænsestillingen for denne sekant vil være en lodret linje når x nærmer sig x 0 . Dermed har sekanthældningen slet ikke nogen grænseværdi fra højre. Den går mod uendelig. Helt generelt er kontinuitet altså en forudsætning for differentiabilitet. |
. |
LOKALE EKSTREMA Et lokalt ekstrema et en værdi der er den størst eller mindst i en omegn. Omegnen kan være vilkårligt lille. Når vi er i et punkt på grafen med lokalt ekstremum (som ikke er et interval endepunkt for Dm(f)) så vil der være vandret tangent. Dvs der gælder følgende sætning: Når f(x) har lokalt minimum eller maksimum i et punkt x, så vil f'(x) = 0. EKSEMPEL Grafen til højre har lokale ekstrema i A og B hvor der er vandret tangent fordi f'(0). f'(x) er større end 0 alle vegne undtagen i intervallet fra -1 til 1. Så vi kan konkludere at f(x) er voksende i ] -∞; -1] og i [ 1, ∞ [ f(x) er aftagende i [ -1;1 ] |
. |
Bemærk at det IKKE altid gælder at der er lokalt ekstremum hvor f'(x) = 0. f'(x) kan godt være 0 uden at der er lokalt ekstrema. Det er en lidt speciel situation, det kræver at der er vandret vendetangent, hvilket er ensbetydende med at f''(x)=0. På figuren ses et eksempel. Det er grafen for f(x) = (x-2) 3 +1. Den har vandret vendetangent i punktet M = (4,2), men ingen lokale ekstrema overhovedet. Konklusionen er dermed at løsninger til ligningen f'(x) kun er KANDIDATER til lokale ekstrema, men det kræver en nærmere undersøgelse at se om de er det, samt om der er tale om et minimum eller maksimum. Man kan enten se på krumningen f''(x) , eller se på funktionsværdier i punktet og dets omegn. I lukkede intervalendepunkter til definitionsmængden vil der også (næsten) altid være lokalt ekstremum. |
. |
f(x) | f'(x) |
k | 0 |
x | 1 |
ax+b |
a |
x 2 | 2x |
ax
2
+bx+c |
2ax+b |
x n | nx n-1 |
e x | e x |
a x | ln(a)*a x |
ln(x) |
x
-1
= 1/x |
log
a
(x) |
1/(ln(a)*x) |
cos(x) |
-sin(x) |
sin(x) |
cos(x) |
|
|
h(x) | h'(x) |
k*f(x) |
k*f'(x) |
f(x) + g(x) |
f'(x) + g'(x) |
f(x) - g(x) | f'(x) - g'(x) |
f(x) * g(x) |
f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x) |
f(g(x)) |
f'(g(x)) * g'(x) |
f -1 (x) | ( f' (f -1 (x) ) ) -1 = 1 / ( f' (f -1 (x) ) ) |
EKSEMPEL På en eng ned mod en flod skal en rektangulær fårefold indhegnes. Vi vælger at kalde siderne for x og y og ved så at arealet er A = x*y. Det ønsker vi at maksimere. Vores nyttefunktion er altså A = x*y Jo større vi gør enten x eller y, eller dem begge, jo større bliver arealet. Der er ikke rigtig noget "problem" at løse før vi indfører nogle krav, bånd eller begrænsninger. Vi indfører nu den begrænsning at vi kun har en rulle hegn på 100m. Dette kan udtrykkes ved ligningen 2x+y=100, hvor y kan isoleres: y = 100 - 2x Det indsætter vi i nytte-funktionen så: A = x*(100-2x) = -2x 2 +100x. I et 2.grads polynomium ligger maksimum i toppunket så x= 25 og y må så være 50. Hermed har vi fundet de optimale sidelænger på vores fold! |
. |
1. De relevante variable er højden h og radius r, der begge skal være positive. 2. Nyttefunktionen er dåsen overfladeareal. Det bestå af to cirkler hver med et areal på π*r 2 og en sideflade med et areal på 2π*r*h. Samlet set får vi 3. Rumfanget af en cylinder er π*r 2 *h og det skal være lig 1000. 4.I denne ligning isolerer vi h: h=1000/(π*r 2 ) 5. Det indsættes i nyttefunktionen 6. Vi differentierer, sætter lig 0 og løser: 7. Af grafen over nyttefunktionen (se figur til højre) ses, at der er et minimum omkring 5. Der kan ikke være andre minima for funktionen er kontinuert og f'(x)=0 har kun en løsning. Så vi har fundet det globale minimum. 8. h kan nu beregnes ved at indsætte r=5.4192 i ligningen for h Vi har altså fundet ud af at den mest materialebesparende facon på dåsen er en radius på 5,42cm og en højde på 10,84 cm. Vi bemærker at den optimale højde er præcis 2 gange radius. |
. . . |
VENDEPUNKT Når f''(x) skifter fortegn (for voksende x) betyder det at funktionens graf skifter fra at være krum den ene vej til at være krum den anden vej. Dette punkt kalder vi vendepunktet, og her er f''(x) =0. VENDETANGENT Der vil også være en tangent her, og den kalder vi en vendetangent. Modsat "almindelige" tangenter har den en særlig egenskab. Tangenten vil på venstre side ligge over grafen for f og på højre side vil den ligge under. Eller omvendt. Det afgørende er at den ligger på hver sin side af grafen, på de to sider af vendepunktet. Bemærk at den alligevel er en tangent, modsat situationen når to grafer blot skærer hinanden. |
. |
. |
VANDRET VENDETANGENT I den helt særlige situation hvor krumningen skifter fortegn og f'(x) samtidig er 0 er tangenten vandret. Det kalder vi vandret vendetangent. |
1 rod |
2 rødder |
3 rødder |
a>
0 og 2 ekstrema . |
a>
0 ingen ekstrema . |
a<0 og 2 ekstrema . |
a<0 ingen ekstrema |
Grafen for 3.grads polynomiet er symmetrisk omkring vendepunktet. Ved rotation på 180 grader falder den i sig selv. Det betyder at går man Δx til højre for vendepunktet vil grafen stige med det samme som den falder hvis man går Δx til venstre. Det er vist på figuren. Hvis vi kalder vendepunktets x-koordinat for Vx vil y -koordinaten være f(Vx), og symmetrien kan så udtrykkes i ligningen: |
. |
Hvis hældningen har samme fortegn som a er der ingen ekstrema.
. |
Hvis hældningen har modsat fortegn af a er der to ekstrema.
. |
Stamfunktion for de elementære funktioner, ubestemte og bestemte integraler, regneregler for integration af f + g, f - g og k · f samt bevis for sammenhængen mellem areal- og stamfunktion, rumfang af omdrejningslegemer.
Fokuspunkter: Begrebsforståelse, matematisk håndværk, brug af IT og matematisk ræsonnement.
Arbejdsformer: Lærerfremlæggelse, klassedialog, bevistræning ved tavle, opsamling, øvelser og opgaveregning med diskussion.
AREALFUNKTIONEN Arealet under en graf fra et fast punkt x 0 til et variabelt punkt x betegner vi med arealfunktionen A(x). A(a) er således arealet under grafen mellem x 0 og a og det er vist med rød skravering. Størrelsen af arealet fra a til b (vist med lys blå) må så være A(b)-A(a). Som vi skal se nedenfor er arealfunktionen en stamfunktion til f(x), og det medfører at arealet fra a til b netop er lig det bestemte integral vi omtalte ovenfor. |
. |
Vi ser på et lille areal (skraveret) under grafen for en positiv funktion mellem x
0
og x
0
+h. Det har størrelsen A(x
0
+h) - A( x
0
). Det ses at dette areal er større end rektanglet under det røde linjestykke i højden f(x 0 ), og mindre end rektanglet under det grønne linestykke i højden f(x 0 +h). De to rektangler kan beregnes som højde gange bredde så Vi kan dividere igennem med h Vi lader nu h gå mod 0. Venstresiden vil forblive f(x 0 ) og højresiden vil også gå mod f(x 0 ). Udtrykket i midten genkender vi som definitionen på A'(x 0 ). Dvs Hvis A'(x 0 ) både er større end (eller lig) og mindre end (eller lig) f(x 0 ), må A'(x 0 ) netop være lig f(x 0 ). Det var det vi skulle vise. |
. BEMÆRKNING Beviset benytter at f er voksende i hele intervallet fra x 0 til x 0 +h. Hvis f er aftagende i stedet, skal ulighedstegnene vendes men konklusionen bliver den samme. f kan være både voksende og aftagende i samme interval når bredden er større end 0. Men når h går mod 0, vil f ende med at være enten voksende eller aftagende i intervallet. |
Hvis funktionen skifter fortegn undervejs mellem grænserne a og b må man dele integralet op for at bestemme det samlede areal. Her ser vi en funktion der skifter fortegn i x=2. Vi er nødt til at bestemme nulpunktet for f(x) der her er 2. For at bestemme det samlede areal mellem grafen og x-aksen fra -1 til 4 må man dele det op i to integraler: A 1=I 1 og A2 = -I 2 Det samlede areal under grafen mellem -1 og 4 bliver så I 1 - I 2 . Bemærk at I 2 her er et negativt tal. |
. |
Hvis man vil arealet mellem 2 grafer for henholdsvis f(x) og g(x) i et interval kan det gøres ved integralet
Ud fra en figurbetragtning er det er oplagt at det gælder. Det enkeltskraverede blå areal øverst er det vi er ude efter. Det kan man naturligvis beregne som hele det blåt-skraverede (under f) minus det dobbeltskraverede (under g). Men forudsætningen er at grafen for f ligger over for grafen for g. Begrundelsen for det sidste lighedstegn kommer i sætningen herunder. |
. |
. |
. |
En vektor tegnes som en pil. Den har et begyndelses og et slutpunkt, men det er vigtig at være opmærksom på at en vektor ikke lever et bestemt sted. Den samme vektor kan tegnes hvor som helst, og vi siger at vi kun har tegnet en repræsentant for vektoren. På figuren ses samme vektor tegnet to steder. Vektorren AB er af samme længde og retning som OP så de to pile er repræsentant for samme vektor. |
. |
Man knytter punkter til vektorer via begrebet stedvektor. En stedvektor for et punkt P er en vektor der begynder i Origo (koordinatsystemets centrum) og ender i punktet. Sådan en er vist på figuren og stedvektorens koordinater er per definition lig punktets koordinater. |
. |
Når vi har en vektor der begynder i punktet A=(a
1
, a
2
), og ender i punktet B=(b
1
, b
2
), så kan vektorens koordinater beregnes ved at trække punkternes to stedvektorer fra hinanden
|
. |
Man vælger at definere summen af to vektorer via summen af deres koordinater.
Det forekommer at være et indlysende valg, men det har også en meget nyttig geometisk konsekvens. To vektorer lægges sammen ved at tegne deres tilsvarende to repræsentanter/pile i forlængelse af hinanden. Figuren viser (de stiplede vektorer) at rækkefølgen er ligegyldig, samt at man kan tænke på en vektorsum som en diagonal i "kræfternes parallellogram". Det ses også på figuren at summens koordinater netop er summen af koordinaterne |
. |
Som bemærket i afsnittet om stedvektorer defineres differensen mellem to vektorer ved koordinatvis subtraktion.
En følge af dette er, at to vektorer samt deres differens altid udgør siderne i en trekant. Hvis man vender den røde pil om, får man i stedet a - b. |
. |
En vektor ganges med et tal ved at gange tallet ind på begge koordinater.
Geometrisk svarer det til at produktvektoren er parallel med vektoren selv, men længde ganges med faktoren t. Tallet kan også være negativt, i så fald får vektoren den modsatte retning. |
. |
Her tænkes på formlen for afstanden mellem 2 punkter. Vi gentager her figuren fra afsnittet "koordinater til vektor mellem to punkter". Det ses at afstanden d mellem to punkter udgør hypotenusen i en retvinklet trekant, hvor kateterne udgør differenserne i henholdsvis x og y-koordinaterne. Så Pythagoras sætning giver Grunde til trekanten er retvinklet er at x-aksen står vinkelret på y-aksen. |
Længden af en vektor angives med numerisk tegn om vektoren. Formlen for længden følger direkte afstandsformlen ovenfor. Tager man kvadratroden på begge sider fås længden er vektoren.
På figuren ses to vektorer med samme længde. Vi kan opfatte den ene som en drejet version af den anden. Men for begge versioner danner vektoren og dens koordinatvektorer en retvinklet trekant, så længdeformlen giver samme resultat i begge tilfælde selv om de to koordinatsæt ikke er ens. Konklusionen er, at længdeformlen gælder uanset valget af koordinatsystem. Denne egenskab skal vi snart udnytte i beviset for sammenhænge mellem vektorers prikprodukt og vinklen mellem dem. |
. |
En enhedsvektor er en vektor med længde en. Den kan have en vilkårlig orientering som vi imidlertid kan angive ved at sætte navnet på en vektor på som indices. Om en enhedsvektor parallel med vektoren a gælder
Figuren viser to enhedsvektorer. |
. |
Dvs
Brøken helt til højre indeholder kun længden af trekantens sider, og de ændrer sig jo ikke ved rotation. Derfor gør prikproduktet heller ikke. |
. |
Vi så tidligere at prikproduktet ikke afhænger af om man roterer koordinatsystemet. Vi kan dermed tillade os at dreje vektorerne så vi får figuren til højre. Trekant OPQ er retvinklet så der gælderDa vektor a er lagt parallelt med x-aksen er a 2 = 0 og |a| = a 1 . Prikproduktet a*b bliver derforI dette indsættes udtrykket for b 1 fra 1. linje og vi får: hvilket var det der skulle bevises. |
. |
ORTOGONALE Hvis de er ortogonale er v=90grader og cos(v) = 0. altså hvis prikproduktet er 0 er vektorerne ortogonale. |
PARALLELLE Hvis der er parallelle er v=0 grader og cos(v) = 1. altså hvis prikproduktet er lig |a|*|b| er de parallele. |
LÆNGDE AF PROJEKTION En projektion af en vektor b, på en linje eller en anden vektor er den del af vektor b der går i a's retning. Situationen er skitseret på figuren i beviset lige ovenover. b's projektion på a er den der er mærket b 1 . Der to varianter af formlen en for længden af projektionen, den kan beregnes ved formlen Den anden er for projektionsvektoren. Ganger vi på begge sider med en enhedsvektor i a's retning får vi den anden variant til højre |
PROJEKTIONSVEKTOREN Venstresiden giver blot projektionen af b på a fordi projektionen på a og a er parallelle, så de har samme enhedsvektor og vi får |
En tværvektor til en vektor a er en vektor med samme længde der står vinkelret på a. Der faktisk 2 af den slags, tværvektoren er den vi får ved at dreje vektor a 90 grader med planens omløbsretning. Tværvektoren til a kalder vi også "hat-vektoren". Den har koordinaterne |
. |
SÆTNING Arealet af parallelogrammet udspændt af 2 vektorer a og b er |
. |
Vi ser at h er b's projektion på a's tværvektor, så længden af h kan opskrives ved at indsætte b og a-hat i projektionsformlen (den enkle variant med længden) Vi indsætter vores udtryk for h i dette |
. |
En linje kan defineres ud fra et punkt P
0
på linjen og en normalvektor n til linjen ved r = P 0 P, og dermed er deres prikprodukt 0. Når P 0 har koordinaterne (x 0 ,y 0 ) og n har koordinaterne < a,b > kan vi indsætte |
. |
Vinklen mellem 2 linjer er lig vinklen mellem deres normalvektorer. Som det ses på figuren er de to vinkler mærket v lige store. Man kan derfor i praksis bruge formlen for vinkel mellem vektorer |
. |
Figuren viser 2 rette linjer der skærer hinanden og diverse vinkler mellem dem. Der er 2 modstående vinkler der er lige store (topvinkler), og et andet sæt topvinkler der også er lige store. Når en vinkel er mindre end 90 grader kaldes den spids, og er den større stump. Nå man spørger om en vinkel mellem 2 linjer er der altså 2 korrekte svar. Når Søren snedig vil gøre sig interessant påstår han, at vinklen w også er et lødigt svar. Han har ret! For de to vinkelben i w er linjerne l1 og l2. Men normalt vil vi underforstå at vi taler om de to mindste vinkler enten den spidse v, eller den stumpe u. Vi bemærker at u+v er 180 grader. |
. |
NORMALVEKTORER KAN DREJES 180 GRADER Når vi bestemmer vinklen ud fra normalvektorerne er der samme problemstilling. Normalvektorer er ikke entydige. De er ubestemt på nær en faktor, så hvis vi ganger med minus en skifter de retning. På figuren ses samme figur som sætningen højere oppe, men den ene normalvektor er nu modsatrettet. Vinklen mellem normalvektorerne er stadig lig en af vinklerne mellem linjerne. Den vinkel vi bestemmer bliver imidlertid den anden. Så konklusionen er fortsat at man må vælge den relevante vinkel selv. |
. |
HALVLINJER OG LINJESTYKKER Når linjerne ikke fortsætter gennem deres fælles punkt, er der kun en vinkel der er naturlig at tale om. Se figuren. Der kunne fx være to telefonledninger der mødes på en mast. |
. |
Vi ser nu på en situation der minder om den vi så på i forbindelse med planens ligning. Punktet P ligger imidlertid ikke på på linjen men et andet sted og vi er interesseret i den vinkelrette afstand d fra P til linjen. SÆTNING Afstanden fra punktet P med koordinater (x,y) til linjen med ligning ax+by+c = 0 er |
. |
En cirkel defineres som mængden af punkter der alle har samme afstand r, til centrum. Dermed bliver cirklens ligning blot afstandsformlen. |
. |
En linje kan enten skære en cirkel, tangere den i et punkt eller slet ikke røre den. Det afhænger af cirklens radius r, og afstanden d fra linjen til centrum C. - Hvis d < r skærer den to steder - Hvis r = d tangere den - Hvis d > r rører den slet ikke Vi kan altså finde ud af hvilken af de tre der er tale om ved at bruge afstandsformlen for punkt til linje. |
. |
Evt rørings eller tangentpunkter kan bestemmes ved at isolere fx y i linjens ligning og substituere ind i cirklens ligning. Det vil så giveen 2.grads ligning i en variabel der kan løses. Med et konkret eksempel med en kendt cirkel og en kendt ligning, kan løses det med CAS fx Maple. Vi kan imidlertid godt bestemme en kort formel for et evt røringspunkt P. Radius på figuren vil samtidig være en normalvektor for linjen, og sådan en kender vi, den har jo koordinaterne < a,b > aflæst fra linjens ligning. Normalvektoren kan dog have vilkårlig længde, så for at sikre at den har længden r, dividerer vi den først med længden på sig selv og gange derefter med r og får r*n/|n|. Lægges denne til stedvektoren for C får vi stedvektoren for P P = C + r*n/|n|. Til højre står den på koordinatform. |
Bemærk at der er to løsninger. Den "rigtige" og en der ligger på den modsatte side af cirklen. Man må teste hvilken der er den rigtige, fx ved at se på om normalvektoren peger mod cirklen eller væk fra den. |
SÆTNING Krydsproduktet af a og b er vinkelret på på både a og b. |
Sætningen om "længden af krydsproduktet" fortæller os at flere ting. Når a og b er parallelle er sin(v) = 0, så det er længden af krydsproduktet også. Når a og b er ortogonale er sin(v) = 1, så længden af krydsproduktet lig |a|*|b|. Arealet af rektanglet udspændt af de to vektorer er lig længden på deres krydsprodukt. Dette sidste indser vi ved at sammenligne længdeformlen for krydsprodukt med formlen for areal af et parallelogram A = h*g. Højden h er katete i trekanten så h = |b|*sin(v), og grundlinjen her er g = |a|. |
I 3d kan en plan defineres på samme måde som en linje i 2D, nemlig ud fra en normalvektor n. Kender vi et punkt P
0
i planen så vil planen bestå af alle punkter P, hvor om det gælder at |
Her er P placeret for enden af r1, så PoP er altså en mulig retningsvektor. |
Vinklen mellem planer er den samme som vinklen mellem deres normalvektorer. Formlen fra vinkel mellem linjer i 2D kan også bruges i rummet. Husk at der er 2 løsninger/vinkler en spids og en stump. Til højre er situationen vist i 3D. |
. |
Retningsvektoren r og vektoren P
0
P udspænder et parallellogram med areal A. Vi ved at størrelsen af arealet er lig længden af krydsproduktet mellem dem dvs A = |r⨯P 0 P|. Fra almindelig geometri ved vi også, at arealet er lig højde gange grundlinje dvs A = d*|r|. De to udtryk for arealet sættes lig hinanden og vi isolerer d |
. |
I almindelighed skærer 2 linjer ikke hinanden i rummet, se figuren. Vi kalder dem vindskæve. Vi betragter 2 vilkårlige punkter P 1 og P 2 på henholdsvis l 1 og l 2 . Der eksisterer en position for hver af de to punkter hvor deres afstand er minmal. Disse to positioner er vist med sort, og deres forbindelseslinje vist med grøn. Mindsteafstanden kalder vi d, og d kan bestemmes ved Dvs n er parallel med det grønne linjestykke d, på figuren. |
. |
Vi ser på situationen igen, hvor normalvektoren n samt to tilfældige positioner af P
1
og P
2
er vist. Det fremgår af figuren at P 1 og P 2 hver især lander i begyndelses og slutpunkt for vektoren d ved projektion på normalvektoren n. Dvs vektoren v mellem P 1 og P 2 projiceret på n, giver netop afstandsvektoren d. Vi kan derfor indsætte a = n og b = v =P 1 P 2 i formlen for længden af b's projektion på a |
.
Hvis afstanden fra linjen til centrum er større end radius har de ingen fællespunkter. Hvis afstanden fra linjen til centrum er lig radius har de et fællespunkt. Hvis afstanden fra linjen til centrum er mindre end radius har de to fællespunkter. Afstanden D, fra centrum til linjen kan bestemmes ved hjælp af formlen for afstand fra punkt til linje. Afstanden mellem kugle og linje kan herefter findes som differensen mellem D og r. |
|
Situationen hvor afstanden er mindre en radius er vist på figuren. Man kan benytte samme metode som for at finde skæring mellem linje og plan. Koordinaterne fra linjens parameterfremstilling indsættes i kuglens ligning. Den fremkomne ligning løses mht til t (der er 0, 1 eller 2 løsninger) og den fundne værdi af t indsættes i linjens parameterfremstilling. |
. |
Situationen hvor afstanden er mindre end radius er vist til højre. Fællesmængden er en cirkel. Den vil vi imidlertid ikke regne på. Det kræver at vi kan fremstille en cirkel i rummet. Det er muligt via en parameterfremstilling, men det er kompliceret, så vi springer det over. |
Vi tænker os at vi har kastet 30 gange med en terning og fået følgende talværdier for antallet af øjne: 3 4 2 4 6 2 4 3 1 3 2 4 5 6 2 4 3 1 2 5 6 2 6 5 6 3 4 1 2 2 Vi optæller hyppighederne og opstiller en tabel. |
.
PINDEDIAGRAM / STOLPEDIAGRAM Pindediagrammet her er tegnet over hyppighederne. Man kunne også have tegnet det over frekvenserne, det ville så have set ud på samme måde, på nær et enhedsskifte på y-aksen. |
TRAPPEDIAGRAM Trappdiagrammet tegnes normalt over de kummulerede frekvenser for at kunne aflæse kvartilsættet. Det ville se ud på samme måde (på nær enheden på y-aksen), hvis vi tegnede det over kummulerede hyppigheder. |
Det tegnes over 5 de variable: størsteværdi, mindste værdi og kvartilsættet. Ideen er at give et meget kompakt overblik over fordelingen. Boksplottet kan laves i Maple med kommandoen: boksplot(obs) |
Vi tænker os at vi har målt temperaturen midt på dagen 50 døgn i træk og fået følgende værdier: 21.3, 13.7, 7.4, 13.4, 12.8, 9.2, 8.9, 4.2, 15.5, 11.9, 18.2, 14.1, 10.9, 21.7, 10.1, 10.2, 4.2, 23.3, 21.7, 9.9, 16.1, 22.4, 8.5, 13.1, 15.3, 19.0, 14.4, 15.6, 18.2, 14.9, 10.8, 13.7, 11.5, 24.8, 13.7, 14.6, 21.1, 10.1, 24.7, 15.6, 17.2, 12.4, 16.1, 12.9, 15.2, 24.9, 26.1, 19.4, 19.4, 10.7 Resultatet af optælling i intervaller er vist til højre. |
|
.
Histogrammet er tegnet over frekvenserne. |
Trappdiagrammet er tegnet over de kummulerede frekvenser. |
Boksplottet tegnes igen over 5 de variable: størsteværdi, mindste værdi og kvartilsættet. Maple kan klare det ved kommandoen:boksplot([H, {4.2, 26.1}]) (Mindsteværdi og størsteværdi er her tilføjet i parentes. Hvis de udelades bruges i stedet og og 30.( Ved grupperede data er boksplottet mere pålideligt fordi der ikke sker afrundinger ved bestemmelse af kvartillerne. På sumkurven er punkterne som det ses forbundet med skrå linjestykker. |
EKSEMPEL MED MØNT Vi kaster en mønt 4 gange, og interessere os for sandsynligheden for de mulige antal forekomster af krone. Når mønten er ærlig viser det sig at: p(0)=0,0625 p(1)=0,25 p(2)=0,375 p(3)=0,25 p(4)=0,0625. Pindediagrammet for fordelingen er vist til højre. |
. |
EKSEMPEL MED TERNING Vi triller 3 gange med en terning og interesserer os for antallet af 6'ere. Situationen er her lidt anderledes idet de to udfald 6'er og ikke 6'er ikke er lige sandsynlige. Hvis sandsynligheden for en 6'er ved et kast er 1/6 for vi får 3 kast: p(0)=0,2963 p(1)=0,4444 p(2)=0,2222 p(3)=0,0370. Pindediagrammet for fordelingen er vist til højre. |
. |
Binomialkoefficienterne kan opstilles i en trekant som vist til højre. Nummeret på rækken/laget svarer til n, med n=0 øverst, og positionen i rækken talt fra venstre svarer til r. At tallene kan opstilles i en trekant er der i sig selv intet i. Opdagelsen er imidlertid at ethvert tal i trekanten er lig summen af det skråt ovenfor til venstre og det skråt ovenfor til højre. 10 er fx summen af 4 og 6. |
By Rohieb (Own work) [
CC0
],
via Wikimedia Commons
|
øjne |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
hyppighed |
12 | 7 | 9 | 11 | 10 |
11 |
|
Rig | Fattig | Sum |
Glad |
101 |
399 |
500 |
Trist |
35 |
265 |
300 |
Sum | 136 | 664 | 800 |
|
Rig | Fattig | Sum |
Glad |
136*500/800 = 85 |
664*500/800 = 415 |
500 |
Trist |
136*300/800 = 51 |
664*300/800 = 249 |
300 |
Sum | 136 | 664 | 800 |
.
.
.
EKSEMPEL Her ser vi på ligningen y' = x-x*y. I ethvert punkt i kan vi beregne y' ved at indsætte. Fx er y' i punktet P= (1,3) : 1-1*3 = -2. Det betyder at hældningen af tangenten til en løsning gennem dette punkt er -2. På samme måde kan vi i hele planen tegne små "tangent-stykker" også kaldet linjeelementer. Disse visualiserer de mulig løsninger, og "følger" man dem giver de et indtryk af løsningerne. På figuren er indtegnet hele grafer for to mulige løsninger. Vi kan altså beregne tangenter og visualisere alle de mulige løsninger uden rent faktisk at løse ligningen, dvs uden at finde forskrifter for løsningerne. |
. |
Her til højre er den karakteristiske graf f, for logistisk vækst vist. Vi ser at væksten flader ud mod y = M. Vi ser også at væksten i begyndelsen er stigende og senere faldende. Det viser sig at grafen er symmetrisk om midtpunktet A, hvor væksten er maksimal. Det er vendetangent i A, ( f''(x) = 0 ) og tangenthældningen er maksimal. Den stiplede blå line øverst viser forløbet hvis y er større end M. Så nærmer værdien sig også M men oppefra i stedet. I vores eksempel svarer det til, at man fra begyndelsen landsætter flere får på øen, end den kan brødføde. Så dør nogle af dem af sult. |
. |
Vi ser at det er et 2.gradspolynomium i y. I et koordinatsystem med y på 1-aksen og y' på 2. aksen er grafen for en vilkårlig løsning en parabel. Parablens toppunkt er der hvor væksten er størst, så det svarer til vores punkt A på foregående figur. Koordinaterne til toppunktet i (y, y') systemet kan findes ved toppunktsformlen. |
. |
– formeludtryk til beskrivelse af ligefrem og omvendt proportionalitet samt polynomielle sammenhænge, eksponentielle sammenhænge og potenssammenhænge mellem variable
– simple statistiske metoder til håndtering af et datamateriale, grafisk præsentation af et statistisk materiale, empiriske statistiske deskriptorer, stikprøvers repræsentativitet og chi-i-anden test
– forholdsberegninger i ensvinklede trekanter og trigonometriske beregninger i vilkårlige trekanter, vektorer i to og tre dimensioner givet ved koordinatsæt, anvendelser af vektorbaseret koordinatgeometri til opstilling og løsning af plan- og rumgeometriske problemer
– begrebet f(x), karakteristiske egenskaber ved følgende elementære funktioner: lineære funktioner, polynomier, eksponential-, potens- og logaritmefunktioner, cosinus og sinus, karakteristiske egenskaber ved disse funktioners grafiske forløb, anvendelse af regression
– definition og fortolkning af differentialkvotient, herunder væksthastighed og marginalbetragtninger, afledet funktion for de elementære funktioner samt regnereglerne for differentiation af f + g, f - g, k · f, f · g og f ° g, udledning af udvalgte differentialkvotienter
– monotoniforhold, ekstrema og optimering samt sammenhængen mellem disse begreber og differentialkvotient
– stamfunktion for de elementære funktioner, ubestemte og bestemte integraler, regneregler for integration af f + g, f - g og k · f samt integration ved substitution, bevis for sammenhængen mellem areal- og stamfunktion, rumfang af omdrejningslegemer
– lineære differentialligninger af 1. orden og logistiske differentialligninger, kvalitativ analyse af givne differentialligninger samt opstilling af simple differentialligninger
– principielle egenskaber ved matematiske modeller, modellering.
Eleverne vil ikke kunne opfylde de faglige mål alene ved hjælp af kernestoffet. Det supplerende stof i matematik A, herunder samspillet med andre fag, skal perspektivere og uddybe kernestoffet, udvide den faglige horisont og give plads til lokale ønsker og hensyn på den enkelte skole.
For at eleverne kan leve op til alle de faglige mål, skal det supplerende stof, der udfylder ca. 75 timer, blandt andet omfatte sammenhængende forløb:
– med vægt på ræsonnement og bevisførelse inden for infinitesimalregning samt deduktive forløb over udvalgte emner
– om differentialligningsmodeller
– med anvendelse af yderligere mindst én type statistisk eller sandsynlighedsteoretisk model
– med bearbejdning af autentisk talmateriale
– om matematik-historiske emner.
DEN SKRIFTLIGE PRØVE
Til den skriftlige prøve gives der fem timer. Det skriftlige eksamenssæt består af opgaver stillet inden for kernestoffet og skal evaluere de tilsvarende faglige mål som beskrevet i pkt. 2.1. Prøven er todelt. Første delprøve skal besvares uden brug af andre end særligt tilladte hjælpemidler. Efter udløbet af første delprøve afleveres besvarelsen heraf.
Under den anden del af prøven må eksaminanden benytte alle hjælpemidler. Kommunikation med omverdenen er ikke tilladt. Endvidere er brug af internettet ikke tilladt, jf. dog § 15, stk. 2, i den almene eksamensbekendtgørelse.
Opgaverne til denne del af prøven udarbejdes ud fra den forudsætning, at eksaminanden råder over CAS-værktøjer, der kan udføre symbolmanipulation, jf. pkt. 3.3.
DEN MUNDTLIGE PRØVE
Den mundtlige prøve skal inddrage gennemførte projektforløb og temaopgaver. De endelige spørgsmål til den mundtlige prøve skal være kendt af eksaminanderne inden prøven og skal tilsammen dække de faglige mål og det faglige indhold. En betydelig del af eksamensspørgsmålene skal være udformet således, at det er muligt at inddrage gennemførte projektforløb og temaopgaver med tilhørende elevrapporter. Spørgsmålene og en fortegnelse over rapporter og undervisningsforløb sendes til censor forud for prøvens afholdelse.
Det enkelte spørgsmål skal udformes med en overskrift, der angiver det overordnede emne for eksaminationen og med konkrete delspørgsmål.
Eksaminationstiden er ca. 30 minutter pr. eksaminand. Der gives ca. 30 minutters forberedelsestid.
Prøven er todelt.
Første del af prøven består af eksaminandens præsentation af sit svar på det udtrukne spørgsmål suppleret med uddybende spørgsmål.
Anden del former sig som en samtale med udgangspunkt i det overordnede emne.
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
2 | |||||||||
3 | |||||||||
4 | |||||||||
5 | |||||||||
6 | |||||||||
7 | |||||||||
8 | |||||||||
9 | |||||||||
10 |