1.Matematikhåndværk

1.Matematikhåndværk/Indhold

Regningsarternes hierarki, det udvidede potensbegreb, rationale og irrationale tal, ligningsløsning.3
Supplerende: Brøker, rødder og kobling mellem rødder og potenser.

Fokuspunkter: Begrebsforståelse, matematisk håndværk, brug af IT og matematisk ræsonnement.

Arbejdsformer: Lærerfremlæggelse, klassedialog, opsamling, øvelser og opgaveregning med diskussion.

1.Matematikhåndværk/Regningsarternes hierarki

Når vi har et "regnestykke" som fx: 3 + 7*(4 - 3/5) + 2*18, er vi nødt til at vide hvilken rækkefølge de enkelte operationer skal udføres i.
Det har man fastlagt via regnehierakiet. Det står herunder, det der står øverst skal gøres først.


 ()   parenteser

^    potensopløftning

 *   multiplicere (gange) eller  /   dividere

+   addere  (lægge til) eller  -  subtrahere  (trække fra)


BEMÆRKNINGER
Under parenteser hører også funktions-udtryk. I udtrykket 4 * sin(3 + 6) skal man altså først lægge 3 og 6 sammen, så beregne sinus og derefter gange med 4.

Når man bruger (kvadrat) rodtegnet er der en underforstået parentes om alt inde i rodtegnet. Det skal derfor beregnes først, inden man tager roden.

Det samme gælder brøker. Der er ALTID underforstået en parentes om hele nævneren og hele tælleren, fx  3 + 5 4 − 2 = 8 2 = 4 Som det fremgår skal man først beregne tæller og nævner for sig, og først derefter udføre divisionen.

Der er også altid underforstået en parentes om evt potenser, så de skal også beregnes før potensopløftningen.

TERMINOLOGI
For at kunne tale præcist om disse ting, har man nogle navne som man er nødt til at kunne udenad. Nedenfor er nogle af de vigtigste.

Et udtryk Et samlet "regnestykke", der kan indeholde alle typer operationer. Fx 3*sin(2x) - 4/12 - 18*(2+1)
Et led En del af et udtryk der står plus eller minus foran. I eksemplet ovenfor er der 3 led.
En faktor Et udtryk eller tal der er ganget på noget andet. Det er lige meget om det står foran eller bagved.
En addend Et udtryk eller tal der er lagt til.
En sum Resultatet når man har lagt to udtryk eller tal sammen.
Et produkt Resultatet når man har ganget to udtryk eller tal sammen.
En ligning To udtryk med et lighedstegn i mellem.
En ulighed To udtryk med et "større end" (> ) eller "mindre end  (<) i mellem.

En koefficient
 Det samme som en faktor, men normalt skrevet foran. Fx er 3 en koefficient i udtrykket 3x.
Et udsagn
 En "påstand". Typisk er det to ligninger med et "ensbetydende tegn" (⇔) i mellem.

1.Matematikhåndværk/Bogstavregning

Ofte er nogle størrelser der indgår i beregninger ukendte, og man bruger så et bogstav fx "x", og siger det er en variabel. Beregninger der involverer variable kalder man nogle gange "bogstavregning".  De regneregler der gælder for bogstavregning er præcis de samme som for tal. I de følgende underkapitler vil de blive gennemgået efter emne, i dette vil vi kun medtage dem der er for parenteser, og operationerne *,/,+ og -.

Regnereglerne er (for de flestes vedkommende) IKKE definitioner, men følger af hvordan *,/,+,- og potensopløftning er defineret. Dvs de kan alle bevises, men det vil vi ikke gøre her. Vi opskriver dem blot.



DEN KOMMUTATIVE LOV
Den gælder for plus og gange og fortæller at rækkefølgen af faktorer og addender er ligegyldig.

Fx er      x*y = y*x   og  a+b = b+a.

Den gælder IKKE for minus og division. 5-3 er ikke et samme som 3-5. Men den gælder faktisk hvis man opfatter fortegnet som en del af tallet og tager det med når man ændrer rækkefølge.  Fx er  a - b en kort skrive måde for a + (-b) og det er lig med (-b) + a.
Det er derfor addition og subtraktion står på samme linje i regnehierakiet. Rækkefølgen er ligegyldig når man opfatter fortegnet som en del af tallet. Det samme gælder multiplikation og division.



DEN DISTRIBUTIVE LOV
Den handler om hvordan man ganger ind i en parentes. Den siger:

a*(b + c) = a*b + a*c

Bemærk at den også kan læses fra venstre mod højre. I så fald udfører man det der kaldes "at sætte udenfor parentes".
I udtrykket abc - abd forekommer faktorerne a og b i begge led og kan derfor sættes uden for parentes. Så får man ab(c - d).

Bemærk at loven gælder uanset om faktoren står foran efter efter parentesen.
Bemærk også at den også gælder for division: (6a + 9b)/3 = 2a + 3b. 3 skal divideres op i alle led.

1.Matematikhåndværk/Potensregler

At opløfte i en potens er en kort skrive måde for gentagen multiplikation. Fx betyder 7 3   "7 ganget med sig selv 3 gange".
3 kaldes "potensen" eller "eksponenten" og 7, som er det tal der opløftes, kaldes "grundtallet".

Indledningsvis er der nogle specialtilfælde at gøre opmærksom på:
a 1 = a     og     a 0 =   1     og   0 a = 0     og     0 0 = 0 Nummer 2 og nummer 4 ovenfor kan ses som definitioner. Man kan også tillægge mening til negative potenser. Man definerer:
a − x = 1 a x     og     a x = 1 a − x Med ovenstående i lommen gælder de følgende regler for alle heltallige potenser:
a c ⋅ b c = ab c     og     a c b c = a b c Bemærk at det er potensen der er den samme i begge faktorer. Nedenfor er det i stedet grundtallet der er det samme i  begge faktorer.

x y ⋅ x z = x y + z     og     x y x z = x y − z Endelig er der varianten hvor potensen selv er noget opløftet i en potens:

a b c = a b c = a bc Det første lighedstegn viser at man skal begynde forneden, det er en definition. Det næste lighedstegn er så en følge af dette, så det en regneregel der kan bevises.


Ovenfor har vi umiddelbart kun tillagt mening til heltallige potenser. Men regnereglerne selv giver mulighed for at tillægge mening til alle potenser der kan udtrykkes som brøker. Hvis vi fx ser på tallet 7 kan det ifølge en af reglerne skrives som 7 0.5 *7 0.5 . Så 7 opløftet til en halv er det tal der ganget med sig selv giver 7.

Det viser sig at man tillægge potensopløftning mening for alle reelle potenser når blot grundtallet er ikke-negativt. Begrundelsen vil vi ikke komme  ind på her, blot bemærke at det er sådan, og at lommeregnere og IT-programmer uden videre kan regne på potenser selv om de ikke er heltal.
 
Det vi hæfter os ved er, at ovenstående regneregler gælder for ALLE reelle potenser.

1.Matematikhåndværk/Rødder

Rødder er "det omvendte" af potensopløftning.


5 3 betyder fx  "det tal som ganget med sig selv 3 gange giver 5". Man kan også forklare det som løsningen til ligningen: x 3 = 5.
Udtrykket læses: "den tredje rod af 5".

Den mest kendte er kvadratroden:
9 = 9 2 = 3 Den er et eksempel på det samme, der er blot underforstået et 2-tal som rod. Fordi vi bruger denne variant så ofte skriver vi ikke 2-tallet.
Når man tager den 3 rod skriver man 3-tallet, men den har som kvadratroden sit eget navn, nemlig "kubikroden".

REDUNDANS
Rødder er et begreb vi faktisk ikke har brug for, vi kan klare os med potensregning. Man kan definere rødder via potenser a n = a 1 n Med denne definition kan alle rødder omskrives til potenser og regnereglerne for potenser kan så bruges. Imidlertid er rødder ret almindeligt brugt i mange tekster, så vi støder på det her og der der og måske også i eksamensopgaver. Nogle af regnereglerne for rødder nævnes her.
a n ⋅ b n = ab n     og     a n b n = a b n Der er også en regel for gentagen rod-uddragning a m n = a n ⋅ m

1.Matematikhåndværk/Kvadratsætningerne

Kvadratsætningerne er blot en kombination af definitionen på potenser samt den distributive lov. Man kan altid selv regne dem ud, og CAS-programmer som Maple kender dem også. Men i praksis, fx i beviser, støder vi så ofte på dem, at der er rigtigt praktisk (nødvendigt) at kunne dem udenad. a + b 2 = a + b ⋅ a + b = a 2 + ab + ba + b 2 = a 2 + b 2 + 2 ab Det første lighedstegn udtrykker blot hvad potensen betyder. I det næste er der ganget ud (alle på alle) jævnfør den distributive lov. Ved det sidste er der blot reduceret.

Der gælder tilsvarende for minus a − b 2 = a − b ⋅ a − b = a 2 − ab − ba + b 2 = a 2 + b 2 − 2 ab Endelig er der kombinationen af minus og plus i parenteserne a + b ⋅ a − b = a 2 + ab − ba − b 2 = a 2 − b 2  

1.Matematikhåndværk/Brøkregning

En brøk er blot en anden måde at skrive en division på. a − 3 x 2 b + 27 = a − 3 x 2 / b + 27 Vi behøver derfor slet ikke brøker, men de anvendes ofte i praksis. BEMÆRK at der er underforstået en parentes om både tæller og nævner.

I brøker kan man forlænge, dvs gange med det samme tal i tæller og nævner. a b = a ⋅ c b ⋅ c Læser man det fra venstre fra højre, ser man at det omvendte også gælder. Man må forkorte, dvs dividere med det samme tal i både tæller og nævner. Når man forkorter, skal man dividere med samme tal i ALLE led i både tæller og nævner. Fx kan den første brøk nedenfor forkortes med 2 den anden kan ikke forkortes. I brøken til højre indgår a i begge led i tælleren og det ene i nævneren, men det er ikke nok. 4 a + 6 b 2 2 c − 8 a = 2   a + 3 b 2 c − 4 a           ab − ax 3 4 a − 2 kc = ? RECIPROK
Den reciprokke til en brøk er det man får ved at bytte om på tæller og nævner. Dvs "finde den omvendte". At reciprokkere svarer til at opløfte brøken i potensen -1. Da et udtryk uden uden nævner fx 3, også kan opfattes som en brøk, nemlig 3/1, kan man reciprokkere alle udtryk og tal. Her er nogle eksempler: 7 − 1 = 7 1 − 1 = 1 7     og     x y − 1 = y x     og     1 a + b − 1 = a + b MULTIPLIKATION
To brøker ganges med hinanden ved at gange tæller med tæller og nævner med nævner a b ⋅ 3 x − 4 c − 2 = a 3 x − 4 b c − 2 Er det et tal der skal ganges på en brøk ganges det blot ind på tælleren 27 ⋅ a 2 d − 8 = 27 ⋅ a 2 d − 8 DIVISION
Man dividerer med en brøk ved at gange med den omvendte (den reciprokke) a b /   c d   = a b ⋅ d c = ad bc Man dividerer en brøk med et udtryk/tal, ved at gange udtrykket ind på NÆVNEREN  a b / c = a b ⋅ c (eller dividere tallet op i tælleren)

ADDITION OG SUBTRAKTION
Der gælder samme regel får plus og minus så vi ser kun på et eksempel med plus. Umiddelbart kan man slet ikke lægge brøker sammen. Man kan naturligvis altid skrive to brøker med et plus i mellem, men det kan typisk ikke samles til en brøk. Kun hvis de har samme nævner. I så fald kan tællerne blot lægge sammen. 2 a + 13   b a = 2 + 13   b a Hvis de to nævnere er forskellige kan man imidlertid altid sørge for at de får samme nævner ved at forlænge dem med passende faktorer a b + c d = a ⋅ d b ⋅ d + c ⋅ b d ⋅ b = ad + cb bd Herefter kan tællerne så lægges sammen. Denne teknik kan altid benyttes ved at forlænge den ene brøk med den andens tæller og omvendt.

1.Matematikhåndværk/Ligninger

En ligning er to udtryk med et lighedstegn i mellem. Fx 3 = 7. Ligninger uden variable, vil enten være falske eller sande. Dem vi oftest er interesseret i er ligninger hvor der forekommer en eller flere variable. De kaldes også udsagn. Fx 3 x − 2 = 7 Denne type ligninger vil vi gerne "løse". At løse en ligning betyder at man vil finde alle de værdier af x (den ukendte variabel) som indsat på x's plads gør ligningen sand. Dvs en ligning kan have flere løsninger, og det samlede sæt af løsninger kalder vi løsningsmængden. Simple lineære ligninger som i eksemplet har dog højest 1 løsning.
HVORDAN LØSES EN LIGNING
At løse en ligning manuelt er håndværk. Det involverer ofte flere, evt mange skridt. Hvilke skridt der skal vælges og i hvilken rækkefølge er noget der skal trænes. Succeskriteriet er, at du ender med at få isoleret x. Man har altid lov at at reducere/omskrive af udtrykket på enten højre eller venstre side for sig efter de regler vi netop har gennemgået i underkapitlerne ovenfor. Men derudover har man et generelt værktøj.

Man må "gøre det samme" på begge sider af lighedstegnet!

"At gøre det samme" på begge involverer en række muligheder


At lægge samme tal til på begge sider
At trække samme tal fra på begge sider
At gange med samme tal på begge sider
 Dog ikke tallet 0
At dividere med samme tal på begge sider Dog ikke tallet 0
At reciprokkere på begge sider
 Når begge nævnere er forskellige fra 0
At anvende en vilkårlig funktion på begge sider
 Det kræver at funktionen er injektiv, samt at begge sider ligger i dens definitionsmængde.

EN INJEKTIV FUNKTION
At en funktion er injektiv, betyder at den er enten voksende i hele sin definitionsmængde, dvs grafen går altid opad, eller den er aftagende i hele sin definitionsmængde, dvs grafen går altid nedad.

En del af de kendte funktioner lever op til dette. Fx lineære funktioner, eksponentialfunktioner, logaritmefunktioner og potensfunktioner.
I almindelig gælder det IKKE for polynomier. Det gælder helle ikke for funktionerne sinus eller cosinus, og i almindelighed heller ikke funktioner hvis forskrift er sammensat af flere udtryk og brøker.

SÆRLIGE TILFÆLDE
Som særligt tilfælde vil vi fremhæve kvadratroden af x samt x 2 som faktisk bare er en potensfunktion. Men vi støder ofte på den.
x 2 er voksende for x> 0. Hvis vi ved at  begge sider i ligningen er positive, kan vi derfor kvadrere på begge sider i en ligning. Hvis vi ikke ved det, må vi benytte den generelle regel
ligningen   x 2 = a   har   to   løsninger :   x = a   og   x = − a :

2.Andengradspolynomiet

2.Andengradspolynomiet/Indhold

Koefficienternes betydning, toppunkt rødder
Supplerende: symmetriakse faktorisering og forskydning.

Fokuspunkter: Begrebsforståelse, matematisk håndværk, brug af IT og matematisk ræsonnement.

Arbejdsformer: Lærerfremlæggelse, klassedialog, bevistræning ved tavle, opsamling, øvelser og opgaveregning med diskussion.

2.Andengradspolynomiet/Koeficienterne a, b og c.

Et 2. gradspolynomium er en funktion med forskriften:
f x = ax 2 + bx + c ,     a ≠ 0 Grafen for f(x) kaldes en parabel og de tre koefficienter a, b og c har hver deres betydning for parablens facon og placering i koordinatsystemet.

Hvis a er positiv vender parablens ben opad, og ellers nedad.

c er y-koordinaten til grafens skæring med y-aksen.

b er hældningen af grafens tangent hvor den skærer y-aksen. (negativ på figuren)

Når a og b har samme fortegn ligger toppunktet til venstre for y-aksen ellers til højre.

.

2.Andengradspolynomiet/Toppunkt

Grafen for et andengradspolynomium er en parabel. Den har en lodret symmetriakse som skærer grafen i toppunktet.
Det er det øverste punkt hvis a<0 og det nederste hvis a> 0.

x-koordinaten til toppunktet er  x t = − b 2 a og y-koordinaten er y t = − b 2 − 4 ac 4 a = c − b 2 4 a

.


BEVIS
Vi benytte symmetriegenskaben. Hvis vi fra toppunket går et stykket x til venstre vil y-værdien på grund af symmetrien være den samme som hvis vi gør stykket x mod højre fra toppunktet. Det kan udtrykkes via ligningen f x t + x = f x t − x højre side beregnes ved indsættelse i forskriften a x t + x 2 + b x t + x + c = ax t 2 + ax 2 + 2 ax t ⋅ x + bx t + bx + c venstre side beregnes tilsvarende a x t − x 2 + b x t − x + c = ax t 2 + ax 2 − 2 ax t ⋅ x + bx t − bx + c De to udtryk skal være ens, så det skal de to højresider også være. Hvis vi trækker den nederste fra den øverste skal det derfor give 0. Når vi gør det går en masse led ud fordi de forekommer begge steder. Vi får ligningen: 0 = 4ax ⋅ x t + 2bx   Vi trækker sidste led fra på begge sider og får − 2 bx = 4 ax ⋅ x t Vi dividerer med 4ax på begge sider og får det forventede x t = − b 2 a Formlen for y-koordinaten fås ved at indsætte den funde x-koordinat i forskriften for 2.gradspolynomiet. y t = f x t = a x t 2 + b x t + c = a − b 2 a 2 + b − b 2 a + c Hvis vi på højresiden kvadrerer brøken, forlænger alle led til de får nævneren 4a og samler på en brøkstreg får vi det forventede resultat
y t = ab 2 4 a 2 − b 2 2 a + c = b 2 4 a   − 2 b 2 4 a + 4 ac 4 a = − b 2 − 4 ac 4 a

2.Andengradspolynomiet/Rødder

Sætter vi forskriften lig 0 har vi en ligning hvis løsninger er funktionens nulpunkter. Når funktionen er et polynomium, kalder vi også nulpunkterne for rødder.
ax 2 + bx + c = 0 Rødderne kan beregnes ved udtrykket:
x = − b ± b 2 − 4 ac 2 a Det ses at der kun er løsninger når udtrykket under kvadratrodstegnet er positivt. Vi giver derfor udtrykket sit eget navn og symbol:
diskriminanten d:
d = b 2 − 4 ac  
BEVIS

Vi tager udgangspunkt i løsningerne (Så forudsætningen er at diskriminanten d = b2 - 4ac er større end 0).
x = − b ± b 2 − 4 ac 2   a Vi ganger med 2a på begge sider
2ax=-b±b2-4acog lægger b til på begge sider
2 ax + b = ± b 2 − 4 ac Vi kvadrerer på begge sider og de to løsninger fører til samme ligning. Men her er vi opmærksomme! Går vi den modsatte vej, nedefra og op, stemmer det også, fordi ligningen a=x2 har to løsninger.
2 ax + b 2 = b 2 − 4 ac Kvadratet på venstresiden åbnes
4 a 2 x 2 + b 2 + 2 ⋅ 2 axb = b 2 − 4 ac b2 går ud, og vi samler det hele på venstre side, ved at lægge 4ac til på begge sider
4 a 2 x 2 + 4 axb + 4 ac = 0 Vi dividerer med 4a på begge sider
ax 2 + bx + c = 0 Alle ligningerne er ensbetydende, dvs den ovenover gælder netop når den nedenunder gør. Derfor kan vi udlede at når diskriminanten ikke er negativ, er løsningsformlen sand, og der ikke er andre løsninger.
Vi kan også udlede at når d er negativ er der ingen løsninger, og hvis d=0 er der kun en løsning. Man siger også at der er dobbeltrod når de to løsninger "falder sammen" til en.

2.Andengradspolynomiet/Faktorisering

At faktorisere betyder at omskrive noget til et produkt af faktorer, dvs en række udtryk som alle er ganget med hinanden.

Der gælder følgende sætning om 2.gradspolynomiet:

r 1 og r 2 er rødder netop når:
a x − r 1 ⋅ x − r 2 = ax 2 + bx + c
BEVIS
Det er let at se at et gælder den ene vej. Hvis enten r 1 eller r 2 indsættes på x's plads giver det 0, så r 1 og r 2 er rødder.

Vi skal imidlertid også argumentere den anden vej: hvis der er rødder i f(x)=ax 2 +bx+c, så vil f(x) så kunne skrives som ovenfor. For vise dette indsætter vi de to formeludtryk for rødderne:
a x − − b + d 2   a ⋅ x − − b − d 2   a begge brøkerne inde i parenteserne deles i 2
a x + b 2   a − d 2   a ⋅ x + b 2   a + d 2   a Der er 3 led i hver parentes, men de to første er de samme i begge parenteser.Hvis vi vælger at opfatte disse to under et, ser vi at vi har en sum af to størrelser gange differencen mellem samme størrelser og det giver kvadratet på 1. størrelse minus kvadratet på den anden:

a x + b 2   a 2 − a d 2   a 2 kvadraterne ganges ud ved reglen om kvadratet på en sum, a ganges ind på alle leddene
ax 2 + a b 2 4 a 2 + a b a x − a d 4   a 2 Vi forkorter brøkerne med a og indsætter udtrykket for d
ax 2 + b 2 4 a + b x − b 2 − 4   ac 4   a de to brøker har samme nævner så de sættes på fælles brøkstreg
ax 2 + bx − b 2 − 4 ac − b 2 4 a Tælleren i brøken reduceres og den forkortes med 4a
ax 2 + bx + c Omskrivningen her gælder begge veje, så vi har vist at hvis der er rødder til f(x)=ax 2 +bx+c, så kan f(x) også skrives
f(x) = a(x-r 1)(x-r 2). Hvis der er dobbeltrod (kun en løsning) indsættes denne både for r 1 og r 2 .

2.Andengradspolynomiet/Forskydning

Grafen for enhver funktion kan forskydes opad ved at lægge q til forskriften. Tilsvarende kan enhver graf forskydes med p i x-retningen ved at erstatte x med x-p. Det gælder også for en parabel.

Det viser sig at ethvert 2.gradspolynomium kan fremstilles ved parallelforskydning af grafen for f(x) = ax 2 med henholdsvis p i x-retningen og q i y-retningen.


Dette udsagn betyder at der altid findes et p og et q så:
ax 2 + bx + c = a x − p 2 + q Alle parabler har altså ligningen y = ax2 i det lokale koordinatsystem omkring toppunktet.

.

BEVIS
For at indse dette er rigtigt ganges højresiden ud:
ax 2 − 2 apx + q + ap 2 Vi kan nu aflæse at koefficienten til 2. grads-leddet stemmer, og 1. grads- og 0.grads-leddet  bliver:
b = − 2ap           og           c = q + ap 2 Disse to ligninger kan løses mht til q og p og vi får:
p = − b 2 a     og     q = c − b 2 4 a Det ses at p og q altid kan beregnes når vi kender a, b og c. Dermed er det ønskede vist.
Bemærk at p og q når de nu altid findes, netop må være toppunktes koordinater. f(x) = ax 2 har jo toppunktet (0,0).

ALTERNATIVT BEVIS FOR RODFORMLEN
Vi har netop set at alle parabler har ligningen y = ax2 i et koordinatsystem omkring T.
I det oprindelige koordinatsystem må der gælde: Δy = a Δx2. Se figur.

Det ses, at når x er en rod er Δy lig med minus 2.koordinaten til toppunktet T, dvs. Δy=d/4a.
d4a=a∆x2⇔∆x2=d4a2⇔∆x=±d4aΔx er lig med x-xT, hvor xT = -b/2a er 1.koordinaten til toppunktet. Så vi ender med at få:
x=xt+±d2a=-b2a+±d2a=-b±d2a

.

3.Vækstfunktioner

3.Vækstfunktioner/Indhold

Formeludtryk til beskrivelse af ligefrem og omvendt proportionalitet samt polynomielle sammenhænge, eksponentielle sammenhænge og potenssammenhænge mellem variable

Begrebet f(x), karakteristiske egenskaber ved følgende elementære funktioner: lineære funktioner, polynomier, eksponential-, potens- og logaritmefunktioner, cosinus og sinus, karakteristiske egenskaber ved disse funktioners grafiske forløb,( anvendelse af regression)

Supplerende: regneregler for logaritmer, fordoblings- og halveringskonstant og invers funktion

Fokuspunkter: Begrebsforståelse, matematisk håndværk, brug af IT og matematisk ræsonnement.

Arbejdsformer: Lærerfremlæggelse, klassedialog, bevistræning ved tavle, opsamling, øvelser og opgaveregning med diskussion.

3.Vækstfunktioner/Linær

3.Vækstfunktioner/Linær/Ligning

I de følgende underkapitler vil vi se på forskrifter for linære, eksponentielle og potensielle grafer.I stedet for f(x) er der imidlertid skrevet y alle vegne, så strengt taget er det ligninger for grafer vi opskriver og ikke funktionsforskrifter. Men man kan blot erstatte y med f(x) så har vi forskrifterne.

Ligningen for en ret linje er
y = ax + b Definitionsmængden og værdimængde er begge hele R.
Konstanten b giver os skæringen med y-aksen da f(0)=a*0+b=b.

Konstanten a fortæller os hvor meget grafen går op eller ned når vi går et skridt mod højre.
a kaldes hældningskoefficienten og den fortæller om grafen stiger eller falder når vi øger x.

Når a er positiv er funktionen voksende, og når a er negativ er funktionen aftagende.
Hvis a er 0 er funktionen konstant og grafen er en vandret linje.

.

3.Vækstfunktioner/Linær/Formler for a og b

Hvis vi kender koordinaterne til to punkter på linjen P 1 =(x 1 ,y 1 ) og P 2 =(x 2 ,y 2 ) så kan a bestemmes ved formlen:
a = y 2 − y 1 x 2 − x 1   og b kan bestemmes ved at indsætte det ene punkt og isolere mht til b.
y 1 = ax 1 + b ⇔ b = y 1 − ax 1

3.Vækstfunktioner/Linær/Bevis formel for a

Når koordinaterne til P 2 indsættes i ligningen fås:
y 2 = ax 2 + b Når koordinaterne til P 1 indsættes i ligningen fås:
y 1 = ax 1 + b
 Trækker vi de to ligninger fra hinanden fås:
y 2 − y 1 = ax 2 + b − ax 1 + b = ax 2 − ax 1 = a x 2 − x 1 Dividerer vi her med (x 2 - x 1 )  på begge sider får vi det ønskede
a = y 2 − y 1 x 2 − x 1

3.Vækstfunktioner/Linær/Vækstsammenhæng

En linær funktion vokser med en konstant når x øges med en konstant. Det skyldes af f(x) (og y) vokser med a når x vokser med 1.
Det er let at indse ved at indsætte x og x+1 forskriften og beregne forskellen i funktionsværdierne:

       f(x+1) - f(x) = a(x+1) + b - (ax + b) = ax + a + b - ax - b = a

3.Vækstfunktioner/Eksponentiel

3.Vækstfunktioner/Eksponentiel/Ligning

Ligningen for eksponentiel vækst er
y = b ⋅ a x ,       a > 0 Definitionsmængden er hele R og værdimængden er R + .
Konstanten b giver os skæringen med y-aksen da f(0)=b.

Konstanten a kaldes fremskrivningsfaktoren og
og tallet r = a-1 kaldes vækstraten.
Vækstraten er den brøkdel y stiger med når x øges med 1.

Når a er større end 1 (og r > 0) er funktionen voksende.
Når a er mindre end 1 (og r < 0) er funktionen aftagende.

.

3.Vækstfunktioner/Eksponentiel/Formel for a og b

Hvis vi kender koordinaterne til to punkter på linjen P 1 =(x 1 ,y 1 ) og P 2 =(x 2 ,y 2 ) så kan a bestemmes ved formlen:
a = y 2 y 1 x 2 − x 1 og b kan bestemmes ved at indsætte det ene punkt og isolere mht til b
y 1 = b ⋅ a x 1 ⇔ b = y 1 a x 1

3.Vækstfunktioner/Eksponentiel/Bevis formel for a

Når koordinaterne til P 2 indsættes i ligningen fås:
y 2 = b ⋅ a x 2 Når koordinaterne til P 1 indsættes i ligningen fås:
y 1 = b ⋅ a x 1 Dividerer vi den øverste ligning med den nederste fås:
y 2 y 1   = b ⋅ a x 2 b ⋅ a x 1 = a x 2 a x 1 = a x 2 − x 1   Tager vi den (x 2 - x 1 )'ende rod  på begge sider får vi det ønskede
a = y 2 y 1 x 2 − x 1

3.Vækstfunktioner/Eksponentiel/Vækstsammenhæng

Ved eksponentiel vækst ganges y-værdien med en konstant når x øges med en konstant.
Det skyldes af f(x) (og y) ganges med med a når x vokser med 1.
Det er let at indse ved at indsætte x og x+1 forskriften og beregne forholdet mellem  funktionsværdierne:

       f(x+1) / f(x) = b*a^(x+1) / (b*a^x) = b*(a^x * a) / (b*a^x) = a

3.Vækstfunktioner/Eksponentiel/Grundtallet e

Ligningen kan også skrives:
y = b ⋅ e kx At dette blot er en anden måde at skrive det samme kan indses ved omskrivningen
y = b ⋅ e kx = b ⋅ e k x = b ⋅ a x Hvor vi har brugt en potensregneregel. Det bageste lighedstegn kan vi arbejde videre med
b ⋅ e k x = b ⋅ a x ⇔ e k x = a x ⇔ e k = a Vi ser dermed også at sammenhængen mellem de to skrivemåder fastlægger at
e k = a     eller     k = ln a
Bogstavet "e" ovenfor kan stå for hvad som helst uden at anfægte gyldigheden af det der står. Men man definerer faktisk e som et særligt tal, en matematisk grundkonstant. Vi kommer tilbage til det i kapitlet og differentialregning, men vi kan give definitionen allerede nu:

e er det tal hvorom der gælder at tangenten til grafen for funktionen e x i punktet (0,1) har hældning 1.

3.Vækstfunktioner/Eksponentiel/Fordoblingskonstant

En eksponentiel vækst har som den eneste funktion den egenskab at en tilvækst af en bestemt størrelse fordobler y-værdien.

Dvs det er lige meget hvilken x-værdi vi starter i, Der findes en bestemt tilvækst der fordobler y, uanset startsted.

Denne tilvækst kalder vi fordoblingskonstanten og den kan beregnes ved formlen

T 2 = ln 2 ln a = ln 2 k Som det fremgår af figuren kan den aflæses ved at vælge 2 y-værdier hvor den ene er dobbelt så stor som den anden. T 2 er så afstanden mellem de tilhørende x-værdier.

.

BEVIS
Formlen kan bevises ved at tage udgangspunkt i den egenskab at der sker en fordobling af y
  y = 2 ⋅ y 0 ⇔ b ⋅ a x 0 + T 2 = 2 b ⋅ a x 0 ⇔ a x 0 ⋅ a T 2 = 2a x 0 ⇔ a T 2 = 2 Den bageste ligning kan vi arbejde videre med, idet vi tager den naturlige logaritme på begge sider af lighedstegnet og hermed når vi frem til formlen.
  ln a T 2 = ln 2 ⇔   T 2 ⋅ ln a = ln 2 ⇔ T 2 = ln 2 ln a Fordoblingskonstant bruger vi kun om en voksende eksponentiel vækst, dvs når a er større end 1. Når a er mindre end 1 er der tale om en aftagende funktion (negativ vækst) og så bruger man i stedet halveringskonstanten, der er bestemt ved en næsten identisk formel
T 1 2 = ln 1 2 ln a = − ln 2 ln a

3.Vækstfunktioner/Potens

3.Vækstfunktioner/Potens/Ligning

Ligningen for en potensfunktions graf er
y = b ⋅ x a Definitions og værdimængde er begge R + og
Grafen går altid gennem punktet (1,b) da f(1)=b.

Konstanten a fortæller hvor om grafens stiger eller falder når vi øger x.

Når a er positiv er funktionen voksende.
Når a er negativ er funktionen aftagende.
Hvis a er 1 er funktionen en ret linje med hældning b.

Når a er større end 1 er grafen opad krum.
Når a er mellem 0 og 1 er grafen nedad krum.

.

3.Vækstfunktioner/Potens/Formler for a og b

Hvis vi kender koordinaterne til to punkter på linjen P 1 =(x 1 ,y 1 ) og P 2 =(x 2 ,y 2 ) så kan a bestemmes ved formlen:
a = ln y 2 − ln y 1 n x 2 − ln x 1 og b kan bestemmes ved at indsætte det ene punkt og isolere mht til b.
y 1 = b ⋅ x 1 a ⇔ b = y 1 x 1 a

3.Vækstfunktioner/Potens/Bevis formel for a

Når koordinaterne til P 2 indsættes i ligningen fås:
y 2 = b ⋅ x 2 a Når koordinaterne til P 1 indsættes i ligningen fås:
y 1 = b ⋅ x 1 a Dividers den øverste ligning med den nederste fås
y 2 y 1   = b ⋅ x 2 a b ⋅ x 1 a = x 2 a x 1 a = x 2 x 1 a Tager vi den naturlige logaritme på begge sider fås
ln y 2 y 1   = ln x 2 x 1 a = a ⋅ ln x 2 x 1 Nu kan a isoleres ved at dividere med ln(x2/x1) på begge sider og vi får det forventede
a = ln y 2 y 1 ln x 2 x 1 = ln y 2 − ln y 1 ln x 2 − ln x 1

3.Vækstfunktioner/Potens/Vækstsammenhæng

I en potens funktion ganges y med en konstant når x ganges med en konstant.

Vi kan vise det og bestemme sammenhængen mellem de to konstanter, ved at indsætte x og k*x i forskriften og beregne deres forhold.
b ⋅ k ⋅ x a b ⋅ x a = k a ⋅ x a x a = k a Vi ser altså at når x ganges med k ganges y med k a .

En anden måde at sige det på er at når x øges med en %-sats på r, øges y med en %-sats på (1+r) a -1.

3.Vækstfunktioner/Logaritmefunktioner

3.Vækstfunktioner/Logaritmefunktioner/Definition


Logaritmefunktioner kan defineres som inverse funktioner til eksponential funktioner. log a x = a x − 1 Til enhver eksponential funktion med grundtal a er der altså en invers som vi læser højt som "log-a til x".
Grafen for en invers funktion til f, fås ved spejling af grafen for f selv i linjen men ligning y = x. (den ene diagonal i koordinatsystemet)
Dermed er det klart log a (1) er 0 for alle a, og log a (a) er 1 for alle a.

Vi kan også konkludere at definitionsmængden er R + og værdimængden er hele R.
 

.

Der er to logaritmefunktioner vi særligt bruger, dvs 2 værdier af a vi særlig interesser os for. Den ene er 10 den anden er "e" som er en matematisk grundkonstant som PI. De to tilsvarende funktioner har fået deres egen navne. log x = log 10 x   og   ln x = log e x Den første kalder vi 10-tals logaritmen og den anden kalder vi den naturlige logaritme.
Den naturlige logaritme er altså invers funktion til e x , og vi minder om at

"e er det tal hvorom der gælder at tangenten til grafen for funktionen e x i punktet (0,1) har hældning 1."

Det ses at stemme med figuren, og det medfører at ln(x) er netop den logaritmefunktion der har hældning 1 i punktet (1,0).

3.Vækstfunktioner/Logaritmefunktioner/Regneregler

Der er nogle sætninger der gælder for alle logaritmefunktioner. Vi vil her kun opskrive præsentere dem for ln(x), og i beviserne længere nede tager vi også udgangspunkt i ln(x). Men beviserne fungere også for alle værdier af grundtallet a. ln a ⋅ b = ln a + ln b
ln a b = ln a − ln b
ln a n = n ⋅ ln a

3.Vækstfunktioner/Logaritmefunktioner/Beviser for regneregler

Vi begynder med den første ln a ⋅ b = ln e ln a ⋅ e ln b = ln e ln a + ln b = ln a + ln b Den næste kan laves ved at udskifte "*" med "/" og "+" med "-" ovenfor. Den sidste er vist nedenfor
ln a n = ln e ln a n = ln e n ⋅ ln a =   n ⋅ ln a

4.Geometri

4.Geometri/Indhold

Forholdsberegninger i ensvinklede trekanter og trigonometriske beregninger i vilkårlige trekanter.

Supplerende: Enhedscirklen, idiotformlen og radianer versus grader.

Fokuspunkter: Begrebsforståelse, matematisk håndværk, brug af IT og matematisk ræsonnement.

Arbejdsformer: Lærerfremlæggelse, klassedialog, bevistræning ved tavle, opsamling, øvelser og opgaveregning med diskussion.

4.Geometri/Ensvinklede trekanter


Som navnet fortæller er ensvinklede trekanter 2 trekanter der har samme vinkler. Dvs de har samme "facon", men kan have forskellig størrelse.

Hvis vi navngiver som vist på figuren gælder der nogle proportionaliteter.

Forholdet mellem sidelængder i en trekant er lig forholdet mellem de tilsvarende sider i den anden trekant
a b = a ' b ' Her er det opskrevet for siderne a og b, det samme gælder også for parrene (b,c) og (c,a)		 Ligningen kan omskrives og man har dermed også at forholdet mellem to tilsvarende sider i de to trekanter er konstant for alle par af tilsvarende sider.
a ' a = b ' b = c ' c = k Dette forhold k, er det vi kalder størrelsesforholdet, målestoksforholdet eller zoomfaktoren. I eksemplet på figuren er k=2.

4.Geometri/Retvinklet trekant

En retvinklet trekant er en trekant hvor en vinkel er 90 grader. Den side der ligger overfor er den længste og kaldes hypotenusen. De to andre sider kaldes kateter.
I en retvinklet trekant gælder

PYTHAGORAS SÆTNING a 2 + b 2 = c 2 Talsæt bestående af hele tal der tilfredsstiller Pythagoras sætning kaldes Pythagoræiske talsæt. Det mindste sæt er (3,4,5), det er den der er vist på figuren.

.
BEVIS FOR PHYTAGORAS SÆTNING
Da de fire trekanter og det indre kvadrat netop dækker det ydre kvadrat er summen af de fire trekanters areal og det indre kvadrats areal lig arealet af det ydre kvadrat dvs.
a + b 2 = c 2 + 4 ⋅ 1 2 a ⋅ b Parenteserne  ganges ud
a 2 + b 2 + 2 ab = c 2 + 2ab Vi trækker 2ab fra på begge sider og får det ønskede
a 2 + b 2 = c 2 		Vi betragter et kvadrat ABCD. På alle sider afmærkes et punkt således at der også kan tegnes et indvendigt kvadrat EFGH.

Hermed opstår 4 identiske retvinklede trekanter. Den ene er fremhævet med rød og siderne er kaldt a, b og c.

.

4.Geometri/Trigonometri

4.Geometri/Trigonometri/Cos og Sin

Fordi forholdet mellem sider i ensvinklede trekanter er konstant afhænger forholdet kun af vinklerne. Man derfor definere 2 funktioner der udtrykker sammenhængen mellem en vinkel og forholdet mellem to sider.
sin v = modstående   katete hypotenusen   og   cos v = hosliggende   katete hypotenusen
Når navngivningen er som på figuren til højre, kan de to formler også skrives
sin v = a c     og   cos v = b c sin u = b c     og   cos u = a c

.

4.Geometri/Trigonometri/Enhedscirklen

Sinus og cosinus kan også defineres via enhedscirklen.
Man definerer at koordinaterne til retningspunktet P er (cos(v), sin(v)).

Denne definition tager sig anderledes ud, men det ses på figuren at koordinaterne til P er lig kateterne til trekanten fremhævet med rødt.

Forstørres eller formindskes denne trekant ændres forholdet mellem siderne ikke så definitionen ovenfor stemmer med den nye.

Pythagoras sætning anvendt på trekanten i enhedscirklen giver cos 2 x + sin 2 x = 1 Denne formel kaldes ofte idiotformlen. Det er et særligt dansk navn, hvor vores modersmål viser sig fra sin bedste side.

.

4.Geometri/Trigonometri/Arealet af trekant

Arealet af en vilkårlig trekant er giver ved A=½*h*g.

Formlen kræver imidlertid at man kender h. Vores nye funktion sinus sætter os imidlertid i stand til at beregne h.

Bruger vi betegnelserne på figuren til højre ses det at vælger vi a som grundlinje bliver højden h=sin(C)*b.

Dermed bliver formlen for arealet af en vilkårlig trekant A = 1 2 ⋅ sin C ⋅ a ⋅ b

.


4.Geometri/Trigonometri/Sinusrelationen


Arealformlen ovenfor kan skrives om med udgangspunkt i alle tre sider som grundlinjer, og dermed ud fra sinus til alle tre vinkler. A = 1 2 ⋅ sin C ⋅ a ⋅ b   og   A = 1 2 ⋅ sin B ⋅ a ⋅ c     og     A = 1 2 ⋅ sin A ⋅ b ⋅ c Det er det samme areal de tre varianter udtrykker så er højresiderne er ens. Dermed kan de sættes lig hinanden. 1 2 ⋅ sin A ⋅ b ⋅ c = 1 2 ⋅ sin B ⋅ a ⋅ c = 1 2 ⋅ sin C ⋅ a ⋅ b   Vi ganger igennem med 2 og dividerer med både a, b og c i alle sider i ligningen og får sin A a = sin B b = sin C c Dette er sinusrelationen. Ligningen gælder også hvis man bytter om på tællerne og nævnerne.

4.Geometri/Trigonometri/Cosinusrelationen

Der gælder også en ligning for en vilkårlig trekant der involverer cosinus til en vinkel. Den lyder cos C = a 2 + b 2 − c 2 2   ab Samme ligning kan skrives op med en side isoleret c 2 = a 2 + b 2 − 2 ab ⋅ cos C Vi ser at fjernes det bageste led har vi Pythagoras sætning. Vi kan altså opfatte cosinusrelationen som en generalisering af Pythagoras sætning for en retvinklet trekant. Det sidste led korrigerer for det forhold at C ikke er en ret vinkel.

Der findes naturligvis 2 versioner mere, en hvor man tager udgangspunkt i vinklen A og en for B. cos A = b 2 + c 2 − a 2 2 bc       ⇔       a 2 = b 2 + c 2 − 2 bc ⋅ cos A   og
cos B = a 2 + c 2 − b 2 2 ac       ⇔       b 2 = a 2 + c 2 − 2 ac ⋅ cos B  
BEVIS FOR COSINUSRELATIONEN
Trekanten ABC kan via højden h opdeles i 2 retvinklede trekanter AHC og ABH. Vi kan opskrive Pythagoras sætning for dem begge.
b 2 = x 2 + h 2     og     c 2 = a − x 2 + h 2  

.

Vi trækker de to ligninger kan trækkes fra hinanden,  ganger kvadratet ud og reducerer b 2 − c 2 = x 2 − a − x 2 = x 2 − a 2 − x 2 + 2 ax = 2 ax − a 2 For trekant AHC gælder cos C = x b ⇔ x = b ⋅ cos C vi kan nu substituere for x i ligningen ovenfor b 2 − c 2 = 2 ab ⋅ cos C − a 2 Nu mangler vi blot at flytte lidt rundt på ledende for at få det ønskede c 2 = a 2 + b 2 − 2 ab ⋅ cos C

4.Geometri/Trigonometri/Harmoniske svingninger

Vi har set at sinus og cosinus både kan defineres via retvinklede trekanter og via enhedscirklen. Den første definition involverer kun vinkler mellem 0 og 90 grader. Den anden definition fungerer imidlertid for alle værdier af en vinkel.

Der er 360 grader rundt i en cirkel så umiddelbart er der mulighed for vinkler fra 0 til 360. Men vi kan også tilægge sinus til større vinkler en mening. 400 grader kan fortolkes som først en helt tur rundt i enhedscirklen og derefter 40 grader mere. Sinus til 400 grader bliver dermed det samme som sinus til 40 grader, men gevinsten er at vinkler kan antage enhver reel værdi.

Negative vinkler giver også mening, det betyder blot at vi kører baglæns rundt. -90 grader giver os således samme retningspunkt som 270 grader. Dermed får vi udvidet definitionsmængden for både sinus og cosinus til alle reele tal.

RADIANER VERSUS GRADER
Når vi beskæftiger os med geometri bruger vi normalt grader som mål for størrelsen af en vinkel. Der er 360 grader rundt i en cirkel.

Man kan imidlertid også bruge længden af den bue som man via vinklen har vandret fra x aksen op til retningspunktet. Når en vinkel angives via buelængden siger man at vinklen måles i radianer.

Omkredsen af en cirkel er 2π*r. Da enhedscirklen har radius en, er omkredsen af den 2π. Det betyder at 360 grader svarer til 2π i radianer.

Man omregner fra grader til radianer ved ved at gange med brøken π/180 og

Man omregner fra radianer til grader ved at gange med 180/π.
HARMONISKE SVINGNINGER
Sinus og cosinus er begge trigonometriske funktioner. Men generelt opfatter man enhver linær funktion af disse som en trigonometrisk funktion eller harmonisk svingning. Dvs en forskrift på formen f t = A ⋅ sin at + f + b Her er en typisk graf som vi kalder en SINUSKURVE.

.


- Koefficienten A kaldes amplituden og fortæller hvor stort variationen er. Funktionens variationsbredde er præcis 2A.

- b er en konstant der lægges til til sidst så den forskyder blot grafen i lodret retning. b er den middelværdi funktionen fluktuerer omkring.

Længden af det interval som t skal skal gennemløbe for at funktionen gennemfører en fuld svingning  kaldes perioden.
- a bestemmer hvor hurtigt funktionen svinger. Når a*t gennemløber et interval af længden 2π er vi kørt præcis en tur rundt i enhedscirklen.

Derfor er perioden T, bestemt ved formlen: T = 2 π a - f kalder man nogle gange fasen, den bestemmer hvor funktionen begynder ved x=0.

Man kan faktisk fremstille cosinus som en svingning der er forsinket 90 grader i forhold til sinus. Hvis man sætter f = -π/2 (svarende til -90 grader) får man samme funktion som hvis f er 0, og man kan skrive cos i stedet. Man har derfor ikke behov for cosinus, man kan bare regulere på f, så traditionen er mange steder, bl.a i skriftlige eksamensopgaver altid at bruge sinus.

Traditionen er også at bruge radianer når man opskriver en harmonisk svingning som ovenfor. Det er vigtigt at vide når man regner eksamensopgaver. Her angives ofte værdier af den uafhængige variabel (t) UDEN at det er specificeret om den er angivet i grader eller radianer..

5.Differentialregning

5.Differentialregning/Indhold

Ddefinition og fortolkning af differentialkvotient, herunder væksthastighed og marginalbetragtninger, afledet funktion for de elementære funktioner samt regnereglerne for differentiation af f + g, f - g, k · f, f · g og f ° g, udledning af udvalgte differentialkvotienter.
Monotoniforhold, ekstrema og optimering samt sammenhængen mellem disse begreber og differentialkvotient

Supplerende afledet af invers funktion og udledning af mange (alle) differentialkvotienter og regneregler.
Der er også undervist i f'', krumningsforhold, vendetangent og symmetriforhold for 3.gradspolynomier.

Fokuspunkter: Begrebsforståelse, matematisk håndværk, brug af IT og matematisk ræsonnement.

Arbejdsformer: Lærerfremlæggelse, klassedialog, bevistræning ved tavle, opsamling, øvelser og opgaveregning med diskussion.

5.Differentialregning/Definition


SEKANT OG TANGENT

På figuren ses en sekant der går gennem punkterne (x 0 , f(x 0 )) og (x, f(x)). Hældningen af sekanten kan bestemmes ved at indsætte koordinaterne i formlen for hældningkoefficient ud fra to punkter a = y 2 − y 1 x 2 − x 1 = f x − f x 0 x − x 0   Hældningen af en sekant til grafen for en funktion kaldes differenskvotienten.

Ideen er nu, at se på grænseværdien, dvs den værdi som differenskvotiententen nærmer sig når x nærmer sig x 0 . Geometrisk svarer det til at punktet x på x-aksen flyttes mod x 0 .

Punktet (x, f(x)) på grafen (det røde punk til højre) tvil så flytte med og det vil sekanten også. Sekantens hældning vil så nærme sig tangentens hældning.

.


Grænseværdien af sekantens hældning kalder vi differentialkvotienten, og vi betegner den f'(x 0 ). Så vi har nu:
f ' x 0 = lim x → x 0 f x − f x 0 x − x 0 Differensen mellem x og x 0 vælger vi at kalde h, og det medfører at vi kan skrive x som x 0 +h. Indsættes det får vi f ' x 0 = lim h → 0 f x 0 + h − f x 0 h Dette er blot en anden skrivemåde for det samme. I beviser er den ofte mere bekvem, men vi vil vælge den der passer os bedst fra situation til situation. Nogle bøger vælger i stedet for h at skrive Δx, det kan man også gøre.
DIFFERENTAIBILITET
Ovenfor definerede vi f'(x) ud fra en grænseværdi. Dette giver kun mening hvis grænseværdien eksisterer. Man kan tale om en grænseværdi fra højre og en grænseværdi fra venstre, alt efter om x nærmer sig x 0 fra højre eller venstre side. Disse to kunne tænkes at være forskellige, men vi vedtager, at vi kun siger en grænseværdi eksister, når den eksisterer både fra højre og fra venstre og de to har samme værdi.

Det medører f'(x 0 ) kun siges at eksisterer hvis sekanthældningen nærmer sig en samme værdi fra begge sider. Når det er tilfældet kalder vi funktionen differentiabel i punktet x 0 .

MODEKSEMPLER
KNÆKPUNKTER
Hvis grafen for en funktion har et "knæk" vil sekanthældningen IKKE nærmer sig samme værdi fra højre og venstre.

En funktion er IKKE differentiabel i eventuelle knækpunkter.

.
PUNKTER MED DISKONTINUITET

Hvis funktionen ikke er kontinuert (har en sammenhængende graf) i et punkt, vil funktionen heller ikke være differentiabel der.

En funktion kan kun have en y-værdi for hver x-værdi. Så punkterne P 0 og Q med x-koordinaten x 0 kan ikke begge være en del af grafen. Her er det P der ligger på grafen, Q er IKKE en del af den. 

Når vores løbende punkt P ligger til højre for P 0 , ligger det på den øverste del af grafen, og en sekant er vist på figuren. Grænsestillingen for denne sekant vil være en lodret linje når x nærmer sig x 0 . Dermed har sekanthældningen slet ikke nogen grænseværdi fra højre. Den går mod uendelig.


Helt generelt er kontinuitet altså en forudsætning for differentiabilitet.

.

DEN AFLEDEDE FUNKTION
I det ovenstående har vi hele tiden beskæftiget os med hældningen af af en tangent til grafen for f i et bestemt punkt. Men definitionen kan jo bruges i ethvert punkt på grafen, så vi kan opfatte vores x 0 som en variabel, og differentialkvotienten bliver dermed en funktion af x 0 .

Denne funktion kalder vi den afledede funktion og vi betegner den f'(x). (I det vi skifter variablens navn fra x 0 til x).
Den afledede funktion giver os altså hældningen af tangenten til grafen for ethvert punkt på grafen.

5.Differentialregning/Tangentens ligning

Differentialkvotienten i et punkt er hældningskoefficienten a, til tangenten. Det kan vi indsætte i den rette linjes ligning:

y = f'(x 0 ) * x + b

Vi kan  bestemme b ved at indsætte koordinaterne til punktet  på generel form(x 0 , f(x 0 ))  og isolere b:

f(x 0 )  =  f'(x 0 ) * x 0 + b   ⇔   b  =  f(x 0 ) - f'(x 0 ) * x 0

Da vi nu kender b kan vi indsætte den i ligningen y = f'(x 0 ) * x + b og vi får dermed tangentens ligning:

y = f'(x 0 ) * x + f(x 0 ) - f'(x 0 ) * x 0
Sætter vi f'(x 0 ) uden for en parentes på højresiden får vi: y = f ' x 0 ⋅ x − x 0 + f x 0

5.Differentialregning/Monotoniforhold og ekstrema

MONOTONIFORHOLD
De steder hvor f'(x) er positiv er tangenthældningen positiv så funktionen er voksende.

De steder hvor f'(x) er negativ er tangenthældningen negativ så funktionen er aftagende.

De steder hvor f'(x) er 0 er tangenten vandret. Drejer det sig om et interval hvor f'(x) er 0 overalt vil funktionen være konstant i hele intervallet.

EKSTREMA
Ekstrema er en fællesbetegnelse for minima og maksima. Man skelner mellem globale og lokale ekstrema. Maksimumsværdien er den værdi funktionen antager. Maksimumspunktet er den x-værdi hvor f(x) er maksimal. Tilsvarende gælder for minimum.
Et globalt maksimum er den største værdi funktionen antager i hele sin definitionsmængde. Tilsvarende gælder et globalt minimum.

LOKALE EKSTREMA
Et lokalt ekstrema et en værdi der er den størst eller mindst i en omegn. Omegnen kan være vilkårligt lille.

Når vi er i et punkt på grafen med lokalt ekstremum (som ikke er et interval endepunkt for Dm(f)) så vil der være vandret tangent. Dvs der gælder følgende sætning:

Når f(x) har lokalt minimum eller maksimum i et punkt x, så vil f'(x) = 0.

EKSEMPEL
Grafen til højre har lokale ekstrema i A og B hvor der er vandret tangent fordi f'(0).

f'(x) er større end 0 alle vegne undtagen i intervallet fra -1 til 1. Så vi kan konkludere at

f(x) er voksende i ] -∞; -1] og i [ 1, ∞ [
f(x) er aftagende i [ -1;1 ]

.

Bemærk at det IKKE altid gælder at der er lokalt ekstremum hvor f'(x) = 0. f'(x) kan godt være 0 uden at der er lokalt ekstrema. Det er en lidt speciel situation, det kræver at der er vandret vendetangent, hvilket er ensbetydende med at f''(x)=0.

På figuren ses et eksempel. Det er grafen for f(x) = (x-2) 3 +1. Den har vandret vendetangent i punktet M = (4,2), men ingen lokale ekstrema overhovedet.

Konklusionen er dermed at løsninger til ligningen f'(x) kun er KANDIDATER til lokale ekstrema, men det kræver en nærmere undersøgelse at se om de er det, samt om der er tale om et minimum eller maksimum. Man kan enten se på krumningen f''(x) , eller se på funktionsværdier i punktet og dets omegn.

I lukkede intervalendepunkter til definitionsmængden vil der også (næsten) altid være lokalt ekstremum.

.

5.Differentialregning/Afledet af kendte funktioner

For at kunne bestemme den afledede til en vilkårlig funktion, skal man have nogle redskaber. Dels skal man kende f'(x) til alle de grundlæggende funktioner vi kender, og dels skal man kende nogle regneregler for kombinationer af dem. Det første ser vi på i dette underkapitel, regneregler ser vi på i det næste.

f(x) f'(x)
k 0
x 1
ax+b a
x 2 2x
ax 2 +bx+c
 2ax+b
x n nx n-1
e x e x
a x ln(a)*a x
ln(x) x -1 = 1/x
log a (x)
 1/(ln(a)*x)
cos(x)
 -sin(x)
sin(x)
 cos(x)
x x
x x ⋅ ln x + 1


5.Differentialregning/Regneregler

Her er en liste over regnereglerne
h(x) h'(x)
k*f(x)
 k*f'(x)
f(x) + g(x)
 f'(x) + g'(x)
f(x) - g(x) f'(x) - g'(x)
f(x) * g(x)
 f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)
f(g(x)) f'(g(x)) * g'(x)
f -1 (x) ( f' (f -1 (x) ) ) -1 = 1 / ( f' (f -1 (x) ) )

5.Differentialregning/Beviser regneregler

I dette underkapitel vil vi se på beviser for regnereglerne. Vi bemærker indledningsvis at når der indgår aflede funktioner i en regneregel er det naturligvis en forudsætning at disse afledede eksisterer.

I det første bevis herunder forudsætter vi eksempelvis at f(x) er differentiabel, dvs at  differenskvotienten har en grænseværdi. Denne forudsætning er vigtig men også triviel, så den gider vi ikke skrive hver gang.

5.Differentialregning/Beviser regneregler/k*f(x)

Vi indsætter at h(x) =k*f(x) i den nederste variant af definitionen på f'(x) h ' x 0 = lim h → 0 k ⋅ f x 0 + h − k ⋅ f x 0 h = lim h → 0 k ⋅ f x 0 + h − f x 0 h = k ⋅ lim h → 0 ⋅ f x 0 + h − f x 0 h = k ⋅ f ' x 0 Vi ser beviset at udnytter blot udnytter at k kan sættes uden for parentes, samt at k kan sættes uden for grænseværdien.

5.Differentialregning/Beviser regneregler/Sum-Differens

Vi indsætter at h(x) = f(x) + g(x) i definitionen, omskriver og udnytter at grænseværdien af en sum er summen af grænseværdierne.
h ' x 0 = lim h → 0 f + g x 0 + h − f + g x 0 h lim h → 0 f x 0 + h − f x 0 + g x 0 + h − g x 0 h lim h → 0 f x 0 + h − f x 0 h + g x 0 + h − g x 0 h lim h → 0 f x 0 + h − f x 0 h + lim h → 0 g x 0 + h − g x 0 h f ' x + g ' x I det sidste skridt genkender vi udtrykket for differentialkvotienten for henholdsvis f(x) og g(x) og hermed er det ønskede bevist.

Erstattes plusset mellem f og g med minus, får vi et tilsvarende bevis for den afledede af en differens mellem to funktioner.

5.Differentialregning/Beviser regneregler/Produkt

Vi indsætter at h(x) = f(x) * g(x) i definitionen  h ' x 0 = lim h → 0 f ⋅ g x 0 + h − f ⋅ g x 0 h = Vi benytter hvad der menes med at gange to funktioner med hinanden lim h → 0 f x 0 + h ⋅ g x 0 + h − f x 0 ⋅ g x 0 h =
Vi får den snedige ide i tælleren at lægge et sammensat led (mærket med rødt) til og trække det samme led fra igen. lim h → 0 f x 0 + h ⋅ g x 0 + h − f x 0 ⋅ g x 0 + h + f x 0 ⋅ g x 0 + h − f x 0 ⋅ g x 0 h =   Vi deler brøken op i to med samme nævner lim h → 0 f x 0 + h ⋅ g x 0 + h − f x 0 ⋅ g x 0 + h h + f x 0 ⋅ g x 0 + h − f x 0 ⋅ g x 0 h =   Vi sætter henholdsvis g(x 0 +h) og  f(x 0 ) uden for parentes og derefter ned foran brøken lim h → 0 f x 0 + h − f x 0 h ⋅ g x 0 + h + f x 0 ⋅ g x 0 + h − g x 0 h = Vi udnytter at grænseværdien af en sum/produkt er summen/produktet af grænseværdierne. lim h → 0 f x 0 + h − f x 0 h ⋅ lim h → 0 g x 0 + h + lim h → 0 f x 0 ⋅ lim h → 0 g x 0 + h − g x 0 h Herefter ser vi på de 4 grænseovergange. Nummer 2 går mod g(x 0 ), nummer 3 ændrer sig ikke og nummer 1 og 4 genkender vi som definitionerne på differentialkvotient for henholdsvis f(x) og g(x).
f ' x 0 ⋅ g x 0 + f x 0 ⋅ g ' x 0 Dermed er det ønskede vist.

)5.Differentialregning/Beviser regneregler/Sammensat funktion

Vi indsætter at h(x) = (f∘g)(x) = f(g(x)) i definitionen på differentialkvotient. Denne gang bruger vi den øverste variant af de to skrivemåder for definitionen på differentialkvotient.h'x0=limx→x0f∘gx−f∘gx0x-x0= Her benyttes hvad der menes med sammensat funktionlimx→x0fgx−fgx0x-x0= Her får vi den snedige ide at forlænge brøken med faktoren g(x) - 'g(x 0 ), samt dele brøken i to faktorerlimx→x0fgx−fgx0gx−gx0⋅gx−gx0x-x0= Her benyttes at grænseværdien af et produkt er produktet af grænseværdierne og vi erstatter g(x) med y og g(x 0 ) med y 0 i første brøk
limx→x0fy−fy0y−y0⋅limx→x0gx−gx0x-x0= Her genkender vi udtrykkene som definitionerne på henholdsvis f'(y) og g'(x)   (y går mod y 0 , når x går mod x 0 ) f ' y 0 ⋅ g ' x 0 = f ' g x 0 ⋅ g ' x 0 I det sidste lighedstegn har vi substitueret baglæns, dvs indsat y 0 = g(x 0 ), og hermed er det ønskede vist.

5.Differentialregning/Beviser regneregler/Invers funktion

Her benytter vi en helt anden teknik, nemlig sætningen vi beviste ovenfor om sammensat funktion.
En invers funktion f -1 til f, er per definition en funktion der opfylder f(f -1 (x)) = x. Vi kan differentiere dette på begge sider f f − 1 x = x ⇔ f f − 1 x ' = 1 I den bageste ligning bruger vi nu på venstre side sætningen om afledet af sammensat funktion

f ' f − 1 x ⋅ f − 1 x ' = 1 ⇔ f − 1 x ' = 1 f ' f − 1 x Ovenfor er ( f -1 (x) )' isoleret ved at dividere med f'( f -1 (x) ) på begge sider, og dermed er det ønskede vist.

Se beviset for den aflede til logaritmefunktionen lidt længere nede for et eksempel på anvendelse.

5.Differentialregning/Beviser funktioner

I dette underkapitel vil vi se på beviser for de enkelte punkter i  listen over aflede af standard funktioner.

Indledningsvist vil vi bemærke at en ret linje overalt har sig selv som tangent, så tangentens hældning er allevegne blot hældningskoefficienten a. Dvs den afledede af den lineære funktion ax+b er a.  Her af følger umiddelbart at (x)' = 1 og k'= 0.

x 2 er blot et specialtilfælde at  x n så den vil vi ikke bevise.

ax 2 +bx+c kan klares med at henvise til (x 2 )'=2x, (ax+b)'=a samt de to første regneregler, så den vil vi heller ikke gøre mere ud af.

5.Differentialregning/Beviser funktioner/eksp(x)

Vi indsætter at f(x)=e x i den nederste variant af definitionen på f'(x). f ' x 0 = lim h → 0 f x 0 + h − f x 0 h = lim h → 0 e x 0 + h − e x 0 h Vi kan bruge potensreglerne til at omskrive ved at sætte e x0 uden for parentes lim h → 0 e x 0 + h − e x 0 h = lim h → 0 e x 0 ⋅ e h − e x 0 h = lim h → 0 e x 0 e h − 1 h = e x 0 ⋅ lim h → 0 e h − 1 h = e x 0 ⋅ k Vi ser at f'(x) er funktionen selv gange en grænseværdi som er konstant, i det den ikke afhænger af x. Konstanten kan omskrives k = lim h → 0 e h − 1 h = lim h → 0 e 0 + h − e 0 h i det e 0 =1. Denne grænseværdi genkender vi som f'(0), dvs tangenthældningen i punktet (0, f(0)) = (0,1).
Vi har tidligere defineret tallet e som det der sikrer at tangenthældningen i dette punkt er en, k er dermed 1, og vi har bevist at ( e x )' = e x .


KOMMENTAR
Læseren føler sig muligvis snydt, går vi ikke i ring her? Første definerer vi e ud fra en egenskab, og derefter bruger vi den i et bevis uden nogensinde at fortælle hvilken værdi e har, eller hvordan e kan bestemmes? Det er der faktisk ikke noget galt i, men lad os se hvordan e kan bestemmes. Vi kan omskrive betingelsen k=1:
lim h → 0 e h − 1 h = 1 ⇔ e = lim h → 0 h + 1 1 h Når vi lader h gå mod 0 bliver 1/h et stort tal. Det betyder at hvis fx h=1/1000 bliver 1/h=1000 og brøken på højre side bliver 1,001 1000 .
I praksis er der andre metoder der er bedre, men pointen er, at det er muligt ved hjælp at multiplikation, at beregne en tilnærmet værdi for e.
Vi kan gøre tilnærmelsen vilkårligt god ved at vælge et lille nok h.

e kan beregnes til e=2.718281828.

5.Differentialregning/Beviser funktioner/a i x'te

I dette og de 4 efterfølgende beviser vil vi udnytte at logaritmefunktioner og potensfunktioner er hinandens inverse.
Det betyder at e ln(y) = y og i dette tilfælde sætter vi y=a x og kan derfor lave omskrivningen a x ' = e ln a x ' = e x ⋅ ln a ' = e x ⋅ ln a ⋅ ln a = ln a ⋅ a x

5.Differentialregning/Beviser funktioner/x i n'te

Vi benytter igen samme teknik som ovenfor med  y=x n og får x n ' = e ln x n ' = e n ⋅ ln x ' = e n ⋅ ln x ⋅ n x = x n ⋅ n x = n ⋅ x n − 1 Undervejs har vi benytte at ( ln(x) ) ' = 1/x samt regnereglen for sammensat funktion.

5.Differentialregning/Beviser funktioner/x i x'te

Vi benytter igen samme teknik som ovenfor  med  y=x x og får x x ' = e ln x x ' = e x ⋅ ln x ' = e x ⋅ ln x ⋅ 1 ⋅ ln x + x ⋅ 1 x = x x ⋅ ln x + 1 Her blev både reglen for sammensat funktion og produktreglen anvendt.
At vi nu kender den aflede til x x har ikke megen praktisk betydning. Vi gjorde det bare fordi vi kunne.

5.Differentialregning/Beviser funktioner/ln(x)

Vi benytter regnereglen for invers funktion   f − 1 ' = 1 f ' f − 1 x samt at ln(x) er invers funktion til e x dvs f(x) = e x ⇒ f'(x)=e x og f -1 (x) = ln(x). Det indsættes og vi får   ln x   '   =   1 e ln x = 1 x Det var næsten for let.

5.Differentialregning/Beviser funktioner/log(x)

Vi ønsker her at bestemme den afledede til log a (x). Vi benytter samme teknik som før idet at log a (x) er invers funktion til a x
dvs f(x) = a x ⇒ f'(x)=ln(a)*a x og f -1 (x) = log a (x). Det indsættes igen i regnereglen for invers funktion og vi får    log a x   '   =   1 ln a ⋅ a log a x = 1 ln a ⋅ x

5.Differentialregning/Optimering

Optimering betyder at gøre noget "bedst muligt". Umiddelbart er det et meget luftigt begreb, men i vores matematiske kontekst her på Mat A betyder det at man skal finde de værdier af de variable der enten maksimerer eller minimerer en såkaldt nyttefunktion. For overhovedet at komme i gang skal vi altså en kende en nyttefunktion eller kunne opstille en. Vi ser straks på et simpelt eksempel.

EKSEMPEL
På en eng ned mod en flod skal en rektangulær fårefold indhegnes. Vi vælger at kalde siderne for x og y og ved så at arealet er A = x*y. Det ønsker vi at maksimere.

Vores nyttefunktion er altså A = x*y

Jo større vi gør enten x eller y, eller dem begge, jo større bliver arealet. Der er ikke rigtig noget "problem" at løse før vi indfører nogle krav, bånd eller begrænsninger.

Vi indfører nu den begrænsning at vi kun har en rulle hegn på 100m. Dette kan  udtrykkes ved ligningen 2x+y=100, hvor y kan isoleres: y = 100 - 2x

Det indsætter vi i nytte-funktionen så:   A = x*(100-2x) = -2x 2 +100x.

I et 2.grads polynomium ligger maksimum i toppunket så x= 25 og y må så være 50. Hermed har vi fundet de optimale sidelænger på vores fold!

.

GENERELT
Denne variant af optimering indebærer altså blot af man skal finde globalt maksimum eller minimum af en funktion, og det ved vi at vi kan gøre via differentialregningen. Vi finder kandidater til lokale ekstrema ved at løse f'(x) = 0, og så undersøger hvilken af disse der er størst/mindst. Vi husker også at intervalendepunkter i definitionsmængden kan være globale ekstrema. Den samlede procedure kan præsenters som en række skridt.

1. Find ud af hvad der er dine variable og skriv dem op.

2. Opstil en nyttefunktion i disse variabel der udtrykker "nytten" i den aktuelle situation.

3. Opstil en eller flere ligninger i de variable der udtrykker diverse begrænsninger.

4. Isoler en variabel i hver af dine ligninger.

5.  Substituer de isolerede udtryk ind i dine nyttefunktion.

6. Find de lokale ekstrema din nyttefunktion ved at løse f'(x)=0.

7. Vælg de globale maksimum/minimum blandt kandidaterne, idet du kontroller det er en mulig løsning.

8. Bestem de resterende variable ved at indsætte den fundne variabel i ligningerne.
ET MERE SPÆNDENDE EKSEMPEL
Vi kigger på en cylinderformet konservesdåse. Vi ønsker den skal rumme 1000cm 3 , men at bruge så lidt materiale som muligt. Vi forenkler ved at se bort fra at der er samlinger i siden og top/bund, og tager opskriften punkt for punkt.

1. De relevante variable er højden h og radius r, der begge skal være positive.

2. Nyttefunktionen er dåsen overfladeareal. Det bestå af to cirkler hver med et areal på π*r 2 og en sideflade med et areal på 2π*r*h. Samlet set får vi 2 ⋅ π ⋅ r 2 + 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h 3. Rumfanget af en cylinder er π*r 2 *h og det skal være lig 1000.

4.I denne ligning isolerer vi h:  h=1000/(π*r 2 )

5. Det indsættes i nyttefunktionen 2 ⋅ π ⋅ r 2 + 2   π ⋅ r ⋅ 1000 π ⋅ r 2 = 2 ⁢ π ⁢ r 2 + 2000 r 6. Vi differentierer, sætter lig 0 og løser: 4 π ⋅ r − 2000 r 2 = 0 ⇔ 4 π ⋅ r = 2000 r 2 ⇔ r 3 = 2000 4 π ⇔ r = 500 π 3 = 5.4192 7. Af grafen over nyttefunktionen (se figur til højre) ses, at der er et minimum omkring 5. Der kan ikke være andre minima for funktionen er kontinuert og f'(x)=0 har kun en løsning. Så vi har fundet det globale minimum.

8. h kan nu beregnes ved at indsætte r=5.4192 i ligningen for h h = 1000 π ⋅ r 2 = 1000 π ⋅ 5.4192 2 = 10.839 Vi har altså fundet ud af at den mest materialebesparende facon på dåsen er en radius på 5,42cm  og en højde på 10,84 cm. Vi bemærker at den optimale højde er præcis 2 gange radius.

.

.

.

5.Differentialregning/Krumning

5.Differentialregning/Krumning/f''


Vi har tidligere slået fast at når f'(x) er positiv er funktionen selv voksende. Det kan vi bruge til at analysere betydningen af f''(x). Hvis f''(x) er positiv er f'(x) voksende. At f'(x) er voksende betyder geometrisk at tangenthældningen til grafen for funktionen f selv, er voksende. Men en stigende tangenthældning må betyde at grafen krummer. Den bliver stejlere og stejlere, så vi siger at den krummer opad. Tilsvarende hvis f''(x) er negativ. Det kan vi samle op i en sætning.
SÆTNING

Når f''(x) er positiv er grafen for f opad krum. 
Når f''(x) er negativ er grafen for f nedad krum.
MAKSIMUM VERSUS MINIMUM
Når vi leder efter lokale ekstrema, løser vi ligningen f'(x)=0. Løsningerne er så kandidater til minima og maksima. Med f''(x) har vi nu fundet en ny metode til at tage stilling til om vores løsninger er maksima eller minima. Hvis vi bruger sætningen ovenfor på de x-værdier der er kandidater, kan vi skrive:

Hvis f'(x)=0 og f''(x)> 0 så er vi i et minimum.
Hvis f'(x)=0 og f''(x)<0 så er vi i et maksimum.

Hvis vi er så uheldige at både f'(x) og f''(x) er 0 er vi skudt til hjørne. Men det er sjældent det forekommer.

5.Differentialregning/Krumning/Vendetangent




VENDEPUNKT
Når f''(x) skifter fortegn (for voksende x) betyder det at funktionens graf skifter fra at være krum den ene vej til at være krum den anden vej. Dette punkt kalder vi vendepunktet, og her er f''(x) =0.

VENDETANGENT
Der vil også være en tangent her, og den kalder vi en vendetangent.

Modsat "almindelige" tangenter har den en særlig egenskab. Tangenten vil på venstre side ligge over grafen for f og på højre side vil den ligge under. Eller omvendt. Det afgørende er at den ligger på hver sin side af grafen, på de to sider af vendepunktet.

Bemærk at den alligevel er en tangent, modsat situationen når to grafer blot skærer hinanden.

.

.

 		VANDRET VENDETANGENT

I den helt særlige situation hvor krumningen skifter fortegn og f'(x) samtidig er 0 er tangenten vandret. Det kalder vi vandret vendetangent.


5.Differentialregning/3.grads pol.

5.Differentialregning/3.grads pol./rødder

FORSKRIFT OG AFLEDEDE

Et 3.grads polynomium er defineret som et polynomium hvor den højest forekommende potens af x er 3. Generelt skal alle forekommende potenser være ikke-negative og hele tal. Så det har forskriften: f ( x ) = a x 3 + b x 2 + c x + d hvor a skal være forskellig fra 0.
Rødder er det samme som nulpunkter, dvs grafisk er det x-koordinaten til grafens skæring med x-aksen. Et 3.gradspolynomium kan have 1, 2 eller 3 rødder. Det afhænger af placeringen af grafen i forhold til x-aksen. Se figurerne.

1 rod

2 rødder

3 rødder
Generelt kan et n'gradspolynomium maksimalt have n rødder.
FAKTORISERING
Hvis der er 3 rødder kan det skrives på formen
f ( x ) = a ( x - r 1 ) ( x - r 2 ) ( x - r 3 ) Det ses umiddelbart at udtrykket hvis det ganges ud giver et led med x i tredje potens. Det ses også umiddelbart via nulreglen at r 1 , r 2 , og r 3 rent faktisk er rødder. Indsættes en af dem giver en af parenteserne og dermed det hele 0.

Det ses også at 2 eller tre af rødderne kan tænkes at være ens. I de tilfælder taler vi om henholdsvis "dobbeltrod" og "trippelrod".
På den midterste figur lige ovenover ser vi en dobbeltrod. Denne situation svarer til at det ene ekstrema ligger på x-aksen.
LØSNING AF 3 GRADSPOLYNOMIUM
Der findes en løsningsformel, men der er kompleks, så den vil vi ikke se på. Vores eneste chance er at gætte en faktorisering der matcher vores forskrift.

Eksempel
Det viser sig at x^3+3x^2+3x+3 også kan skrives (x+1)^3=(x+1)(x+1)(x+1)
(Man kan gøre prøve ved at gange ud, se også Pasclas trekant i kap 9.)

Dermed kan vi aflæse  at x=-1 er trippelrod. Men det er et særtilfælde, så vi skal IKKE kunne løse 3.grads ligninger generelt.

5.Differentialregning/3.grads pol./Graf

a> 0 og 2 ekstrema

.
a> 0 ingen ekstrema

.
a<0 og 2 ekstrema

.
a<0 ingen ekstrema

Betydningen af konstanterne a, b, c og d i forskriften.

a)
Når a er positiv vil f(x) gå mod uendelig når x gør. Dvs grafen fortsætter skråt op til højre.
Når a er negativ vil f(x) gå mod -uendelig når x går mod uendelig. Dvs grafen fortsætter skråt ned til højre.

b)
Når a og b har samme fortegn ligger vendepunktet til venstre for y-aksen.
Når a og b har forskellige fortegn ligger vendepunktet til højre for y-aksen.

c)
c er tangentens hældning der hvor grafen skærer y-aksen.

d)
d er y-koordinaten der hvor grafen skærer y-aksen.

5.Differentialregning/3.grads pol./Vendepunkt

VENDEPUNKT
Vi har f ( x ) = a x 3 + b x 2 + c x + d så f' ( x ) = 3 a x 2 + 2 b x + c og f ' ' ( x ) = 6 a x + 2 b Vendepunkter er generelt løsninger til ligningen: f''(x)=0 så: 6 a x + 2 b = 0 ⇔ x = - b 3 a   Hermed er x-koordinaten til vendepunktet bestemt.
 
SYMMETRI

Grafen for 3.grads polynomiet er symmetrisk omkring vendepunktet. Ved rotation på 180 grader falder den i sig selv.

Det betyder at går man Δx til højre for vendepunktet vil grafen stige med det samme som den falder hvis man går Δx til venstre. Det er vist på figuren.

Hvis vi kalder vendepunktets x-koordinat for Vx vil y -koordinaten være f(Vx), og symmetrien kan så udtrykkes i ligningen: f ( V x ) - f ( V x - ∆ x ) = f ( V x + ∆ x ) - f ( V x )

.

Den er besværlig at løse i hånden, men pointen er at den altid har en løsning mht til Vx, og dermed er det bevist at grafen altid er symmetrisk omkring vendepunket. Løser man den fx i Maple, genfinder vi formlen for x-koordinaten til vendnepuktet. Se ovenfor.

5.Differentialregning/3.grads pol./Ekstrema

0 ELLER 2
Der kan enten være 0 eller 2 ekstrema. Ved en figurbetragtning kan vi se, at det afhænger af hældningen i vendepunktet.

Hvis hældningen har samme fortegn som a er der ingen ekstrema.

.

 		Hvis hældningen har modsat fortegn af a er der to ekstrema.

.

Det er derfor relevant at bestemme et generelt udtryk for hældningen t, i vendepunket. Det kan vi finde ved at indsætte vendepunktets x-koordinat i f'(x): t = f ' − b 3   a = 3 ⁢ a ⋅ − b 3   a 2 + 2 ⁢ b ⋅ − b 3   a + c = c − b 2 3 a Hvis vendetangentens hældning t, og a har samme fortegn dvs a*t> 0, er der ingen ekstrema, vi har altså uligheden: a ⋅ c − b 2 3   a > 0 ⇔ a ⋅ c − b 2 3   > 0 ⇔ 3 a ⋅ c > b 2 Vi har dermed:

SÆTNING

Hvis 3a*c er større end eller lig med b 2 , så er der ingen ekstrema. Ellers er der 2.

Sætningen fortæller også indirekte om antallet af rødder. Hvis der ingen ekstrema er, kan der højest være en rod.

6.Integralregning

6.Integralregning/Indhold

Stamfunktion for de elementære funktioner, ubestemte og bestemte integraler, regneregler for integration af f + g, f - g og k · f samt bevis for sammenhængen mellem areal- og stamfunktion, rumfang af omdrejningslegemer.

Fokuspunkter: Begrebsforståelse, matematisk håndværk, brug af IT og matematisk ræsonnement.

Arbejdsformer: Lærerfremlæggelse, klassedialog, bevistræning ved tavle, opsamling, øvelser og opgaveregning med diskussion.

6.Integralregning/Stamfunktion

Integralregning involverer det omvendte af differentiering. Man siger at en funktion F(x) er stamfunktion til f(x), eller hvis den aflede af F(x) er f(x). Dvs.

F(x) er en stamfunktion til f(x) hvis F'(x) = f(x)

Differentiation er entydig der er kun en funktion f'(x) der er den aflede til f(x). Sådan er det ikke med stamfunktioner, der er uendelig mange stamfunktioner til en give funktion f(x). Der gælder følgende
SÆTNING
Hvis F(x) er en vilkårlig stamfunktion til f(x) består mængden af stamfunktioner af alle funktioner på formen F(x) + k, hvor k er en vilkårlig konstant .

BEVIS
Sætningen indeholder to påstande. Den ene er at hvis F(x) er en stamfunktion er F(x)+k også. Det er let at vise ved at differentiere: F x + k ' = F ' x + k ' = f x + 0 = f x Den anden påstand er at enhver stamfunktion til f kan findes ved at lægge en konstant til F(x). Dvs der er ikke andre.

Det viser vi ved at se på to stamfunktioner til f(x), F 1 (x) og F 2 (x), og definere differensfunktionen D(x) = F 2 (x) - F 1 (x). Vi differentiere på begge sider D ' x = F 2 x − F 1 x ' = F 2 ' x − F 1 ' x = f x − f x = 0 Da D'(x) er 0 overalt, har tangenten til dens graf hældningen 0 overalt, og den eneste graf med den egenskab er en vandret linje, D(x) er altså en konstant funktion med forskriften D(x) = k. Det kan vi nu indsætte i vores definition D(x) = F 2 (x) - F 1 (x) og vi får: k = F 2 x − F 1 x ⇔ F 2 x = F 1 x + k Heraf ses at to vilkårlige stamfunktioner F 1 og F 2 kun kunne adskille sig med en additiv konstant, og det var det vi skulle vise.

6.Integralregning/Terminologi

6.Integralregning/Terminologi/Ubestemt integrale

At finde stamfunktion til en given funktion kaldes også at integrere. Man siger også at stamfunktionen er integralet af f(x) og man har en notation for det F x = ∫ f x ⅆ x Det ovenstående kalder man det ubestemte integral. Vi bemærker at integrale-notationen indeholder 2 dele: dels et foranstillet "integraletegn" der faktisk er et forvredet "S" og dels et bagved-stillet "dx". Selve funktionen vi skal integrere står i midten.

6.Integralregning/Terminologi/Bestemt integrale

  
Der er også et såkaldt "bestemt integral", de har en definition med tilhørende notation. ∫ a b f x ⅆ x = F x a b = F b − F a Det bestemte integrale er altså blot en differens mellem to funktionsværdier for stamfunktionen. De to værdier a og b kaldes grænserne, Det bestemte integral er altså et tal, i modsætning til det ubestemte der er en funktion.

Den midterste del med firkantparenteserne i definitionen ovenfor er ikke nødvendig, men blot indført af bekvemmeligheds årsager. Det fremhæver at et bestemt integral kan beregnes via 2 trin. Først integreres for at finde en stamfunktion F(x) og herefter indsættes grænserne a og b.
SÆTNING
I beregningen af det bestemte integral kan vi vælge en vilkårlig stamfunktion
BEVIS
Vi ved at enhver anden stamfunktion til f(x) kan skrives på formen F(x)+k. Bruger vi denne i stedet på højresiden i definitionen ovenfor fås F b + k − F a + k = F b + k − F a − k = F b − F a Det ses at når minusparentesen hæves går - k'erne så resultatet er uændret.

6.Integralregning/Arealer

En af de væsentligste årsager til at integraler er nyttige er, at de kan benyttes til at beregne arealer under grafen for en funktion. Det kan naturligvis udnyttes rent geometrisk, men det kan også udnyttes til at beregne den kumulerede virkning af noget gennem tid. Hvis man fx kender indtægten forskriften for  i(x), ved salget af en vare som funktion af tiden, så vil arealet under grafen for i(x) i en periode være lig den samlede indtjening gennem perioden.

AREALFUNKTIONEN
Arealet under en graf fra et fast punkt x 0 til et variabelt punkt x betegner vi med arealfunktionen A(x).

A(a) er således arealet under grafen mellem x 0 og a og det er vist med rød skravering. Størrelsen af arealet fra a til b (vist med lys blå) må så være A(b)-A(a).

Som vi skal se nedenfor er arealfunktionen en stamfunktion til f(x), og det medfører at arealet fra a til b netop er lig det bestemte integral vi omtalte ovenfor. A b − A a = ∫ a b f x ⅆ x = F b − F a

.

SÆTNING
Arealfunktionen er en stamfunktion til f(x), hvilket er ensbetydende med at A'(x) er lig f(x).
BEVIS
Vi ser på et lille areal (skraveret) under grafen for en positiv funktion mellem x 0 og x 0 +h. Det har størrelsen A(x 0 +h) - A( x 0 ).
Det ses at dette areal er større end rektanglet under det røde linjestykke i højden f(x 0 ), og mindre end rektanglet under det grønne linestykke i højden f(x 0 +h).

De to rektangler kan beregnes som højde gange bredde så f x 0 ⋅ h ≤ A x 0 + h − A x 0 ≤ f x 0 + h ⋅ h   Vi kan dividere igennem med h f x 0 ≤ A x 0 + h − A x 0 h ≤ f x 0 + h Vi lader nu h gå mod 0. Venstresiden vil forblive f(x 0 ) og højresiden vil også gå mod f(x 0 ). Udtrykket i midten genkender vi som definitionen på A'(x 0 ). Dvs f x 0 ≤ A ' x ≤ f x 0 Hvis A'(x 0 ) både er større end (eller lig) og mindre end (eller lig)  f(x 0 ),
må A'(x 0 ) netop  være lig f(x 0 ).  Det var det vi skulle vise.

.




BEMÆRKNING
Beviset benytter at f er voksende i hele intervallet fra x 0 til x 0 +h.

Hvis f er aftagende i stedet, skal ulighedstegnene vendes men konklusionen bliver den samme.

f kan være både voksende og aftagende i samme interval når bredden er  større end 0. Men når h går mod 0, vil f ende med at være enten voksende eller aftagende i intervallet.

INTEGRALET UNDER EN NEGATIV FUNKTION
Hvis funktionen er negativ i et interval ligger grafen under x-aksen. Stamfunktionen vil have modsat fortegn, og det bestemte integral fra a til b vil være negativt. Arealer kan ikke være negative, så arealet mellem grafen og x-aksen er generelt den numeriske værdi af integralet.

EKSEMPEL
Hvis funktionen skifter fortegn undervejs mellem grænserne a og b må man dele integralet op for at bestemme det samlede areal. Her ser vi en funktion der skifter fortegn i x=2.

Vi er nødt til at bestemme nulpunktet for f(x) der her er 2.

For at bestemme det samlede areal mellem grafen og x-aksen fra -1 til 4 må man dele det op i to integraler: A 1=I 1 og  A2 = -I 2
I 1 = ∫ − 1 2 f x ⅆ x   og   I 2 = ∫ 2 4 f x ⅆ x   Det samlede areal under grafen mellem -1 og 4 bliver så I 1 - I 2 . Bemærk at I 2 her er et negativt tal.

.

INDSKUDSSÆTNINGEN
Den regel vi benyttede ovenfor om at dele et areal under en graf op i flere bidder kan generalises i det vi kalder indskudssætningen. Den lyder ∫ a b f x ⅆ x = ∫ a c f x ⅆ x + ∫ c b f x Vi kan altså dele et integral op ved at indskyde et pitstop c, mellem grænserne a og b.
BEVIS
At indskudssætningen gælder, forekommer ret oplagt ud fra en figur betragtning som ovenfor. Men den kan også bevises ved bogstavregning ∫ a c f x ⅆ x + ∫ c b f x ⅆ x = F c − F a + F b − F c = F b − F a = ∫ a b f x ⅆ x Beviset her viser, at sætningen også gælder også selv om c ikke ligger mellem a og b.
AREAL MELLEM GRAFER

Hvis man vil arealet mellem 2 grafer for henholdsvis f(x) og g(x) i et interval kan det gøres ved integralet A f → g = ∫ a b f x ⅆ x − ∫ a b g x ⅆ x = ∫ a b f x − g x ⅆ x Ud fra en figurbetragtning er det er oplagt at det gælder. Det enkeltskraverede blå areal øverst er det vi er ude efter. Det kan man naturligvis beregne som hele det blåt-skraverede (under f) minus det dobbeltskraverede (under g).

 Men forudsætningen er at grafen for f ligger over for grafen for g.

Begrundelsen for det sidste lighedstegn kommer i sætningen herunder.

.

6.Integralregning/Regneregler

Indskudssætningen ovenfor er et eksempel på en regneregel for integraler. Der ud over er der nogle flere der "nedarves" fra tilsvarende regler for differentialregningen.
SÆTNING OM SUM AF INTEGRALER ∫ f x + g x ⅆ x = F x + G x + k Beviset er trivielt, vi differentierer blot på begge sider
∫ f x + g x ⅆ x ' = F x + G x + k ' ⇔ f x + g x = F ' x + G ' x + k ' ⇔ f x + g x = f x + g x og ser at den sidste ligning stemmer. Man kalder det for "integrationsprøven", når man efterviser gyldigheden et integral ved at differentiere.

DIFFERENS AF INTEGRALER
Sætning og bevis ovenfor gælder også for en differens mellem to funktioner. Man kan blot udskifte + med minus alle steder.
INTEGRAL AF SAMMENSAT FUNKTION
I det generelle tilfælde er det vanskeligt at finde integraler til sammensatte funktioner. Det er slet ikke sikkert der eksisterer et stamfunktion de eksplicit kan skrives op. Dvs det er ikke sikkert stamfunktionen kan skrives som et udtryk ved kendte funktioner. Men der er et særligt tilfælde vi let kan klare.
SÆTNING ∫ f g x ⋅ g ' x ⅆ x = F g x + k BEVIS
Her anvender vi igen integrationsprøven og ser at vi ender med en ligning der stemmer.
∫ f g x ⋅ g ' x ⅆ x ' = F g x + k ' ⇔ f g x ⋅ g ' x = F g x ' + k ' ⇔ f g x ⋅ g ' x = f g x ⋅ g ' x
EKSEMPEL INTEGRAL AF SAMMENSAT FUNKTION
Man skal være så "heldig" at integranden er på netop den rigtige form, for at kunne bruge sætningen. Der er imidlertid ofte opgaver af denne type i den skriftlige eksamen uden hjælpemidler, så vi ser på et eksempel. ∫ 2   x x 2 + 12 ⅆ x = ∫ 1 x 2 + 12 ⋅ 2 x ⅆ x Omskrivningen viser at vi kan opfatte tælleren som en faktor og vi bemærker at nævneren differentieret netop giver denne faktor.
Dermed er den ydre funktion 1/x som har stamfunktion ln(x) og den indre funktion er x 2 +12. Integralet giver dermed ln x 2 + 1 Du kan selv lave integrationsprøven på eksemplet hvis du er i tvivl.
BESTEMTE INTEGRALER
Regnereglerne ovenfor gælder for ubestemte integraler som er funktioner. Bestemte integraler involverer de samme funktioner, blot med grænserne a og b indsat. Derfor gælder præcis de samme regneregler for bestemte integraler, med den bemærkning at konstanten gå ud. ∫ a b f x + g x ⅆ x = F b + G b − F a − G a Samt en tilsvarende gælder for differensen mellem f og g. Desuden gælder for sammensat funktion ∫ a b f g x ⋅ g ' x ⅆ x = F g b − F g a

6.Integralregning/Omdrejningslegemer

Et omdrejninglegeme er et 3D objekt der fremkommer når en graf drejes 360 grader om fx x-aksen. Se figuren til venstre nedenfor. Når grafen drejes får vi en overflade der er visualiseret i 3D til højre nedenfor.


.

.

 Omdrejnings legemet har en begyndelses og slut værdi på x-aksen (a og b). Når vi lukker overfladen med endeflader i a og b får vi en "beholder" med et rumfang.
SÆTNING
Størrelsen V af rumfanget for et omdrejningslegeme er V = π ∫ a b f x 2 ⅆ x hvor f(x) er den funktion hvis graf der drejes 360 grader om x-aksen og x=a og x=b definerer endefladerne.
BEVIS
Vi vil ikke givet et fuldt bevis, men skitsere det.
Omdrejningslegemet kan opfattes som en sum af uendeligt mange uendeligt tynde skiver. På figuren ovenfor til venstre, er der vist sådan en skive mellem x=6 og x=7.Sådan en skive kan, når den er tynd, tilnærmes en cylinder. Bunden i cylinderen er en cirkel med radius f(x), så cirklens areal er π*f(x) 2 .

Når man skal finde det samlede rumfang skal man derfor integrere π*f(x) 2 fra a til b, dvs finde det bestemte integral ovenfor. Da π er en konstant kan den sættes uden for integraltegnet.

Man kan føre beviset helt til dørs ved en betragtning identisk med den vi brugte da vi beviste at arealfunktionen er en stamfunktion til f.  Man kan opstille en dobbeltuligheder dividere med h på begge sider og se på grænsen for h gående mod 0 og dermed vise at V'(x)=π*f(x) 2. Men det gider vi ikke.
EKSEMPEL KEGLE

Keglen er vist liggende nederst til højre. Radius i grundfladen er r.
Den kan dannes ved at dreje grafen for f (øverst til højre) 360 grader.

Grafen for f går gennem punkterne (0,0) og (h,r) så f har forskriften f(x)=r/h*x.

Rumfanget af keglen kan derfor bestemmes via formlen for omdrejningslegeme med grænserne er 0 og h:
V=π∫0hrhx2dx=πr2h213x30h=πr2h2h33=13πhr2

.

.

.
EKSEMPEL KUGLE
En halvkugle med radius r, er vist nederst til højre.
Den kan frembringes ved at dreje grafen for f (vist øverst til højre) 360 grader.

Den røde kurve er en del af en cirkel med centrum i (0,0).
Cirklens ligning er y^2+x^2=r^2 så forskriften kvadreret er:  f(x)2= r2- x2.

Den røde kurve går gennem punkterne (r,0) og (0,r). Rumfanget af halvkuglen kan derfor bestemmes via formlen for omdrejningslegeme med grænserne er 0 og r:
π∫0rr2-x2dx=πr2x-13x30r=πr3-13r3=23πr3 Hele kuglens rumfang er det dobbelte dvsV=43πr3

.

.

.
VOLUMEN MELLEM 2 OMDREJNINGSLEGEMER
På samme måde som man kan definere et areal mellem to grafer, kan man definere et rumfang der ligger mellem 2 omdrejningslegemer. Den ene graf vil roteret give "den indre skal" og den anden graf "den ydre skal". Så den situation svarer meget nøje til rumfanget af materialet der skal bruges til en vase lysestage eller lignende.

Hvis grafen for f(x) i et interval ligger over grafen for g(x) kan rumfanget bestemmes ved at trække de to omdrejningslegemers rumfang fra hinanden V f → g = π ∫ a b f x 2 ⅆ x − π ∫ a b g x 2 ⅆ x Bemærk at det IKKE er det samme som at indsætte h(x)=f(x)-g(x) i formlen for et omdrejningslegeme. Man er nødt til at beregne de to omdrejningslegemer hver især og så trække det inderste fra det yderste.

7.Vektorer i 2D

7.Vektorer i 2D/Indhold

Vektorer i to dimensioner givet ved koordinatsæt, anvendelser af vektorbaseret koordinatgeometri til opstilling og løsning af plangeometriske problemer

Fokuspunkter: Begrebsforståelse, matematisk håndværk, brug af IT og matematisk ræsonnement.

Arbejdsformer: Lærerfremlæggelse, klassedialog, bevistræning ved tavle, opsamling, øvelser og opgaveregning med diskussion.

7.Vektorer i 2D/Indledning

DEFINITION
En vektor indeholder som et punkt en liste over koordinater. I planen 2 koordinater og i rummet 3 koordinater. Ofte sættes en pil over vektorens navn for at vise det er en vektor, og som regel skrives koordinaterne lodret over hinanden. a → = a 1 a 2
FORTOLKNING
Et punkt fortolkes geometriske som en position, en vektor fortolkes derimod geometrisk som et skift i position. Hvis vi vil beskrive en bevægelse er vi nødt til at både at angive en retning og en fart, dvs størrelsen af hastigheden. Geometrisk kan man gøre det ved at tegne en pil.

I stedet for at angive retning og længde kan man i stedet angive størrelse af hastigheden i x-retningen og størrelsen i y-retningen. Det er vektorens koordinater.

En vektor kan imidlertid også bruges abstrakt om en en liste af tal fx en indkøbsseddel. I både det geometriske tilfælde og i indkøbsseddel eksemplet giver det mening at regne på vektorer. Det er det der er emnet for hele dette kapitel.

Hvis fx Ib skal købe 2 æg og 3 heste og Le skal købe 3 æg og 1 hest, er der en naturlig måde at lægge de to tilsvarende vektorer sammen. Når de sender deres tjener Bob i byen for at lave et samlet indkøb køber han i alt 5 æg og 4 heste. Han lægger bare sammen "koordinatvis".
TEGNING AF VEKTORER
En vektor tegnes som en pil. Den har et begyndelses og et slutpunkt, men det er vigtig at være opmærksom på at en vektor ikke lever et bestemt sted. Den samme vektor kan tegnes hvor som helst, og vi siger at vi kun har tegnet en repræsentant for vektoren.

På figuren ses samme vektor tegnet to steder. Vektorren AB er af samme længde og retning som OP så de to pile er repræsentant for samme vektor.

.

STEDVEKTOR
Man knytter punkter til vektorer via begrebet stedvektor. En stedvektor for et punkt P er en vektor der begynder i Origo (koordinatsystemets centrum) og ender i punktet.

Sådan en er vist på figuren og stedvektorens koordinater er per definition lig punktets koordinater.

.

NOTATION
Som nævnt bruger man normalt at tegne en pil hen over en vektors navn/symbol. Det er også gjort sådan i formler og på figurer i denne bog. Inde i teksten giver HTML imidlertid meget ringe mulighed for at sætte pile over. Fx burde vektorene OP og AB have vektorpile ovenover, men har det ikke. Når der står "vektor OP" er det imidlertid klart at det er tale om en vektor, så det kan vi godt leve med.

Tilsvarende er der koordinaterne også nogen stedet skrevet vandret i stedet for lodret, men vi vil så bruge "<" og "> " som parenteser for at vise det er en vektor.

Faktisk er det også sådan man skriver vektorer hurtigt ind i Maple. Man taster "<" og "> ", men Maple erstatter dem automatisk med nogle tegn med en lidt mere stump vinkel. (Se lige nedenfor)

KOORDINATER TIL VEKTOR MELLEM TO PUNKTER.
Når vi har en vektor der begynder i punktet A=(a 1 , a 2 ), og ender i punktet B=(b 1 , b 2 ), så kan vektorens koordinater beregnes ved at trække punkternes to stedvektorer fra hinanden AB → = b 1 , b 2 − a 1 , a 2 = b 1 − a 1 , b 2 − a 2

.

7.Vektorer i 2D/Regneregler

I afsnittet lige ovenover tog vi hul på regnereglerne for vektorer. Vi trak nemlig stedvektorer fra hinanden. Efter at menneskeheden har fundet på begrebet vektorer står det faktisk frit at bestemme hvad man kan med dem og hvilke regler der skal gælde. Når først man har defineret nogle er der imidlertid andre "regler" der så følger som konsekvenser af de valgte definitioner. Det er det der er emnet i dette underkapitel.
SUM DEFINITION
Man vælger at definere summen af to vektorer via summen af deres koordinater. a → = a 1 , a 2   og   b → = b 1 , b 2 ⇒ a → + b → = a 1 + b 1 , a 2 + b 2   Det forekommer at være et indlysende valg, men det har også en meget nyttig geometisk konsekvens. To vektorer lægges sammen ved at tegne deres tilsvarende to repræsentanter/pile i forlængelse af hinanden.

Figuren viser (de stiplede vektorer) at rækkefølgen er ligegyldig, samt at man kan tænke på en vektorsum som en diagonal i "kræfternes parallellogram".

Det ses også på figuren at summens koordinater netop er summen af koordinaterne

.

DIFFERENS DEFINITION
Som bemærket i afsnittet om stedvektorer defineres differensen mellem to vektorer ved koordinatvis subtraktion. a → = a 1 , a 2   og   b → = b 1 , b 2 ⇒ a → − b → = a 1 − b 1 , a 2 − b 2 En følge af dette er, at to vektorer samt deres differens altid udgør siderne i en trekant.
Hvis man vender den røde pil om, får man i stedet a - b.

.

VEKTOR GANGET MED TAL - DEFINITION
En vektor ganges med et tal ved at gange tallet ind på begge koordinater. t ⋅ a 1 , a 2 = t ⋅ a 1,  t ⋅ a 2 Geometrisk svarer det til at produktvektoren er parallel med vektoren selv, men længde ganges med faktoren t.
Tallet kan også være negativt, i så fald får vektoren den modsatte retning.

.

DEN DISTRIBUTIVE LOV
Der er to varianter en for en en tal ganget på envektor sum og en for en sum ganget på tal. Begge varianter er direkte konsekvenser at at vi adderer og ganger koordinatvis på vektorer. Den sædvanlige distributive lov for tal "nedarves". t ⋅ a → + b → = t ⋅ a → + t ⋅ b → og t + s ⋅ a → = t ⋅ a → + s ⋅ a → Beviserne er trivielle. Man indsætter blot vektorernes koordinater. Prøv om du kan.
AFSTANDSFORMLEN
Her tænkes på formlen for afstanden mellem 2 punkter. Vi gentager her figuren fra afsnittet "koordinater til vektor mellem to punkter".

Det ses at afstanden d mellem to punkter udgør hypotenusen i en retvinklet trekant, hvor kateterne udgør differenserne i henholdsvis x og y-koordinaterne. Så Pythagoras sætning giver d 2 = Δx 2 + Δy 2 Grunde til trekanten er retvinklet er at x-aksen står vinkelret på y-aksen.

LÆNGDE AF VEKTOR
Længden af en vektor angives med numerisk tegn om vektoren. Formlen for længden følger direkte afstandsformlen ovenfor. Tager man kvadratroden på begge sider fås længden er vektoren.  a → = a 1 2 + a 2 2 På figuren ses to vektorer med samme længde. Vi kan opfatte den ene som en drejet version af den anden. Men for begge versioner danner vektoren og dens koordinatvektorer en retvinklet trekant, så længdeformlen giver samme resultat i begge tilfælde selv om de to koordinatsæt ikke er ens.

Konklusionen er, at længdeformlen gælder uanset valget af koordinatsystem. Denne egenskab skal vi snart udnytte i beviset for sammenhænge mellem vektorers prikprodukt og vinklen mellem dem.

.

ENHEDSVEKTOR
En enhedsvektor er en vektor med længde en. Den kan have en vilkårlig orientering som vi imidlertid kan angive ved at sætte navnet på en vektor på som indices. Om en enhedsvektor parallel med vektoren a gælder e a → = a → | a → |   ⇔   a → = a → ⋅ e a →
Figuren viser to enhedsvektorer.

.

7.Vektorer i 2D/Prikprodukt

DEFINITION
Man kunne måske tro at man også definerede et produkt af to vektorer ved at gange koordinatvis. Men det gør vi IKKE. Det kan man selvfølgelig godt gøre, med det fører ikke til noget interessant, så det vil vi ikke gå ind i. Vi ser i stedet på et andet "produkt" nemlig det såkaldte prikprodukt. det viser sig nemlig at være nyttigt. Så vi definerer a → ⋅ b → = a 1 , a 2 ⋅ b 1 , b 2 = a 1 ⋅ b 1 + a 2 ⋅ b 2 Man bruger også udtrykket skalarprodukt om prikproduktet. En "skalar" er et tal i modsætning til en vektor som har flere koordinater.
LÆNGDE VIA PRIKPRODUKT
Vi noterer os at prikker man en vektor med sig selv fås a → ⋅ a → = a 1 ⋅ a 1 + a 2 ⋅ a 2 som jo netop er længden af vektor a i anden. Vi tillader os derfor notationen a → 2 = a → 2 = a 1 2 + a 2 2 Men i almindelighed kan man ikke potensopløfte vektorer.
PRIKPRODUKT ER UAFHÆNGIGT AF ORIENTERINGEN AF KOORDINATSYSTEMET
Vi finder på at beregne størrelsen | a → − b → | 2 = a → − b → 2 = a → − b → ⋅ a → − b → = a → ⋅ a → + b → ⋅ b → − 2   a → ⋅ b → = a → 2 + | b → | 2 − 2   a → ⋅ b →
Dvs | a → − b → | 2 = a → 2 + | b → | 2 − 2   a → ⋅ b →   ⇔   a → ⋅ b → = | a → | 2 + b → 2 − a → − b → 2 2 Brøken helt til højre indeholder kun længden af trekantens sider, og de ændrer sig jo ikke ved rotation. Derfor gør prikproduktet heller ikke.

.

7.Vektorer i 2D/Vinkel mellem to vektorer

SÆTNING
Vinklen v mellem to vektorer a og b (se figur ovenfor) kan bestemmes af  cos v = a → ⋅ b → | a → | ⋅ b →
BEVIS

Vi så tidligere at prikproduktet ikke afhænger af om man roterer koordinatsystemet. Vi kan dermed tillade os at dreje vektorerne så vi får figuren til højre. Trekant OPQ er retvinklet så der gældercosv=hosliggende katetehypotenusen=b1b→⇔b1=b→·cos(v)Da vektor a er lagt parallelt med x-aksen er a 2 = 0 og |a| = a 1 . Prikproduktet a*b bliver derfora→⋅b→=a1⋅b1+ 0⋅b2=a→⋅b1 I dette indsættes udtrykket for b 1 fra 1. linje og vi får:a→⋅b→=|a→|⋅b→·cos(v)⇔cos(v)=a→⋅b→a→⋅b→ hvilket var det der skulle bevises.

.

ORTOGONALE OG PARALLELLE VEKTORER
Der er to vigtige specialtilfælde af formlen for vinklen mellem vektorer.
 
ORTOGONALE
Hvis de er ortogonale er v=90grader og cos(v) = 0. a → ⊥ b → ⇔ a → ⋅ b → = 0 altså hvis prikproduktet er 0 er vektorerne ortogonale.
 PARALLELLE
 Hvis der er parallelle er v=0 grader og cos(v) = 1. a → ∥ b → ⇔ a → ⋅ b → =   a → ⋅ | b → | altså hvis prikproduktet er lig |a|*|b| er de parallele.

7.Vektorer i 2D/Projektion af vektor

SÆTNING
LÆNGDE AF PROJEKTION

En projektion af en vektor b, på en linje eller en anden vektor er den del af vektor b der går i a's retning. Situationen er skitseret på figuren i beviset lige ovenover. b's projektion på a er den der er mærket b 1 .

Der to varianter af formlen en for længden af projektionen, den kan beregnes ved formlen b → a → = a → ⋅ b → a →       Den anden er for projektionsvektoren. Ganger vi på begge sider med en enhedsvektor i a's retning får vi den anden variant til højre
 PROJEKTIONSVEKTOREN

  b → a → ⋅ e a → = a → ⋅ b → a → ⋅ e a →   ⇔   b → a → = a → ⋅ b → a → ⋅ a → a → Venstresiden giver blot projektionen af b på a fordi projektionen på a og a er parallelle, så de har samme enhedsvektor og vi får b → a → = a → ⋅ b → a → 2 ⋅ a →


BEVIS
Figurbetragtningen fra sidste bevis gav os (i det b's projektion på a, er den der kaldes b 1 på figuren) cos v = | b → a → | b → ⇔ | b → a → | = b → ⋅ cos v Substituerer vi heri med cos(v) fra formlen for vinkel mellem vektorer cos v = a → ⋅ b → | a → | ⋅ b → får vi b → a → = b → a → ⋅ b → | a → | ⋅ b → = a → ⋅ b → a → Hvilket var det vi skulle bevise.

7.Vektorer i 2D/Determinant og areal

TVÆRVEKTOR
En tværvektor til en vektor a er en vektor med samme længde der står vinkelret på a. Der faktisk 2 af den slags, tværvektoren er den vi får ved at dreje vektor a 90 grader med planens omløbsretning.

Tværvektoren til a kalder vi også "hat-vektoren". Den har koordinaterne a → ˆ = a 1 , a 2 ˆ = − a 2 , a 1

.
Det er let at vise at definitionen faktisk give en ortogonal vektor. Prikproduktet af 2 ortogonale vektorer er 0, og vi ser det stemmer a → ⋅ a → ˆ = a 1 , a 2 ⋅ − a 2 , a 1 = a 1 ⋅ − a 2 + a 2 ⋅ a 1 = 0
DETERMINANT
Determinanten mellem 2 vektorer er defineret som den første vektors tværvektor prikket med den anden. Dvs det a → , b → = a → ˆ ⋅ b → = − a 2 ⋅ b 1 + a 1 ⋅ b 2 = a 1 ⋅ b 2 − a 2 ⋅ b 1 Vi bemærker at testen for parallele og ortoganale vektorer via prikprodukt fører til nogle tilsvarende for determinanten.

Determinanten er 0 netop når vektorerne parallelle, og determinanten er lig |a|*|b| netop når de er ortogonale.
AREAL UDSPÆNDT AF 2 VEKTORER
SÆTNING
Arealet af parallelogrammet udspændt af 2 vektorer a og b er A = | det a → , b → |

.

Vi bemærker at trekantens areal er det halve.
BEVIS
Vi ser at h er b's projektion på a's tværvektor, så længden af h kan opskrives ved at indsætte b og a-hat i projektionsformlen (den enkle variant med længden) h = | b → a → ˆ | = | a → ˆ ⋅ b → | | a → ˆ | = | det a → , b → | a → Arealet af et parallelogram er højde gange grundlinje dvs A = h*g, her A = h*|a|.
Vi indsætter vores udtryk for h i dette A = | det a → , b → | a → ⋅ a → = | det a → , b → | og det var det vi skulle vise.

.

7.Vektorer i 2D/Linjen

7.Vektorer i 2D/Linjen/Ligning

En linje kan defineres ud fra et punkt P 0 på linjen og en normalvektor n til linjen ved P 0 P → ⋅ n → = 0 P=(x,y) er et punkt på linjen så normalvektoren er per definition vinkelret på retningsvektoren
r = P 0 P, og dermed er deres prikprodukt 0.
Når P 0 har koordinaterne (x 0 ,y 0 ) og n har koordinaterne < a,b > kan vi indsætte x − x 0 ,   y − y 0 ⋅ a , b = ax − ax 0 + by − by 0 = 0 De andet og fjerde led er konstante så de samles til en konstant der kaldes c ax + by + c = 0

.

Dette er linjens ligning, hvilket ikke er en overraskelse. Men det nye er, at når den står på den form kan vi direkte aflæse koordinaterne til en normalvektor som er a og b. Vi kan dermed også umiddelbart opskrive en retningsvektor, idet den er tværvektor til normalvektoren.

Bemærk at der er uendeligt mange normalvektorer (og retningsvektorer) der fører til samme ligning, længden kan nemlig vælges frit, og vi kan også vende den om hvis vi har lyst.
move me--> or-->

7.Vektorer i 2D/Linjen/Parameterfremstilling

I stedet for at angive en ret linje via en ligning i x og y, kan man fremstille den via en såkaldt parameterfremstilling.  Linjens parameterfremstilling er x y = x 0 y 0 + t ⋅ r 1 r 2
(x,y) er koordinaterne til et vilkårligt punkt på linjen, (x 0 , y 0 ) er koordinaterne til et punkt P 0  på linjen og < r 1 , r 2 > er en retningsvektor for linjen. Situationen er præcis som figuren vist lige ovenfor i forbindelse med linjens ligning.

En parameterfremstilling involverer også ligninger, men der er i stedet en ligning for hver koordinat samlet i en "vektorligning".
De to ligninger kan imidlertid godt skrives op hver for sig.  x = x 0 + t*r 1   og  y = y 0 + t*r 2 .

Hvis man isolerer t i den ene ligning og substituerer værdien af t ind i den anden ligning får man linjens ligning.
move me--> or-->

7.Vektorer i 2D/Linjen/Vinkler mellem

SÆTNING
Vinklen mellem 2 linjer er lig vinklen mellem deres normalvektorer. Som det ses på figuren er de to vinkler mærket v lige store.

Man kan derfor i praksis bruge formlen for vinkel mellem vektorer cos v = n 1 → ⋅ n 2 → n 1 → ⋅ n 2 → og indsætte de to normalvektorer hvis koordinater kan aflæses direkte som koefficienterne a og b i linjernes ligninger.

.

DISKUSSION
Figuren viser 2 rette linjer der skærer hinanden og diverse vinkler mellem dem. Der er 2 modstående vinkler der er lige store (topvinkler), og et andet sæt topvinkler der også er lige store.

Når en vinkel er mindre end 90 grader kaldes den spids, og er den større stump. Nå man spørger om en vinkel mellem 2 linjer er der altså 2 korrekte svar.

Når Søren snedig vil gøre sig interessant påstår han, at vinklen w også er et lødigt svar. Han har ret! For de to vinkelben i w er linjerne l1 og l2. 
Men normalt vil vi underforstå at vi taler om de to mindste vinkler enten den spidse v, eller den stumpe u.

Vi bemærker at u+v er 180 grader.

.
NORMALVEKTORER KAN DREJES 180 GRADER

Når vi bestemmer vinklen ud fra normalvektorerne er der samme problemstilling. Normalvektorer er  ikke entydige. De er ubestemt på nær en faktor, så hvis vi ganger med minus en skifter de retning.

På figuren ses samme figur som sætningen højere oppe, men den ene normalvektor er nu modsatrettet. Vinklen mellem normalvektorerne er stadig lig en af vinklerne mellem linjerne. Den vinkel vi bestemmer bliver imidlertid den anden.

Så konklusionen er fortsat at man må vælge den relevante vinkel selv.

.
HALVLINJER OG LINJESTYKKER
Når linjerne ikke fortsætter gennem deres fælles punkt, er der kun en vinkel der er naturlig at tale om. Se figuren.

Der kunne fx være to telefonledninger der mødes på en mast.

.

7.Vektorer i 2D/Linjen/Afstand til punkt

Vi ser nu på en situation der minder om den vi så på i forbindelse med planens ligning.
Punktet P ligger imidlertid ikke på på linjen men et andet sted og vi er interesseret i den vinkelrette afstand d fra P til linjen.

SÆTNING
Afstanden fra punktet P med koordinater (x,y) til linjen med ligning ax+by+c = 0 er d = ax + by + c a 2 + b 2

.
BEVIS
Vi ser at afstanden d, er lig længden af projektionen af vektoren P 0 P på normalvektoren n. Vi indsætter disse i projektionsformlen. | b → a → | = | a → ⋅ b → | a →   ⇔   d = | P 0 P → ⋅ n → | | n → | Under opstilling af linjens ligning beregnede vi at prikproduktet af P 0 P og normalvektoren n.
Det gav ax+by+c, når n har koordinaterne < a,b > . Indsætter vi dette i ovenstående fås d = P 0 P → ⋅ n → n → = ax + by + c a 2 + b 2 og det ønskede er bevist.

7.Vektorer i 2D/Cirkel

7.Vektorer i 2D/Cirkel/Ligning

En cirkel defineres som mængden af punkter der alle har samme afstand r, til centrum. Dermed bliver cirklens ligning blot afstandsformlen. Δx 2 + Δy 2 = r 2 Som det ses af figuren kan vi skrive Δx som (x-c 1 ) og Δy som (y-c 2 ), hvor (c 1 ,c 2 ) er koordinaterne til cirklens centrum C. Det indsætter vi og får cirklens ligning på standardform. x − c 1 2 + y − c 2 2 = r 2

.

7.Vektorer i 2D/Cirkel/Skæring med linje

En linje kan enten skære en cirkel, tangere den i et punkt eller slet ikke røre den.
Det afhænger af cirklens radius r, og afstanden d fra linjen til centrum C.


 - Hvis d < r skærer den to steder

 - Hvis  r = d tangere den

 - Hvis  d > r rører den slet ikke

Vi kan altså finde ud af hvilken af de tre der er tale om ved at bruge afstandsformlen for punkt til linje.

.
BESTEMMELSE AF FÆLLESPUNKTER
Evt rørings eller tangentpunkter kan bestemmes ved at isolere fx y i linjens ligning og substituere ind i cirklens ligning.
Det vil så giveen 2.grads ligning i en variabel der kan løses. Med et konkret eksempel med en kendt cirkel og en kendt ligning, kan løses det med CAS fx Maple.

Vi kan imidlertid godt bestemme en kort formel for et evt røringspunkt P. Radius på figuren vil samtidig være en normalvektor for linjen, og sådan en kender vi, den har jo koordinaterne < a,b > aflæst fra linjens ligning. 

Normalvektoren kan dog have vilkårlig længde, så for at sikre at den har længden r, dividerer vi den først med længden på sig selv og gange derefter med r og får  r*n/|n|.

Lægges denne til stedvektoren for C får vi stedvektoren for P
P = C + r*n/|n|.   Til højre står den på koordinatform.
 x y = c 1 c 2 ± r a 2 + b 2 ⋅ a b
Bemærk at der er to løsninger. Den "rigtige" og en der ligger på den modsatte side af cirklen. Man må teste hvilken der er den rigtige, fx ved at se på om normalvektoren peger mod cirklen eller væk fra den.

8.Vektorer i 3D

8.Vektorer i 3D/Indhold

Vektorer i tre dimensioner givet ved koordinatsæt, anvendelser af vektorbaseret koordinatgeometri til opstilling og løsning af rumgeometriske problemer

Fokuspunkter: Begrebsforståelse, matematisk håndværk, brug af IT og matematisk ræsonnement.

Arbejdsformer: Lærerfremlæggelse, klassedialog, bevistræning ved tavle, opsamling, øvelser og opgaveregning med diskussion.

8.Vektorer i 3D/Indledning

Vektorbegrebet kan uden videre udvides til at gælde flere dimensioner. Fx kan et 12Mb foto opfattes som en vektor hvor hver pixel giver 3 koordinater og vi har så en vektor med ca 12 millioner koordinater. Vi skal dog alene beskæftige os med 3 dimensioner i dette kapitel. En vektor a har her 3 koordinater og kan skrives a → = a 1 a 2 a 3 eller på kort vandret form a = < a 1 , a 2 , a 3 > .
Mange af de forhold vi har set på i kapitlet om 2-dimensioenelle vektorer gælder også i 3D, vi skal bare tilføje en koordinat.

Vi addererer vektorer på samme måde, ganger med et tal på samme måde, så den distributive lov gælder stadig.

Prikproduktet er også det samme udvidet med en koordinat og sætningen om vinkel mellem vektorer gælder uændret. Beviset for sætningen om cos(v) fra 2D fungerer også i 3D. Der vil nemlig altid findes en plan der indeholder 2 vilkårlige vektorer.

Projektionsformlen gælder også i 3D, her vil beviset fra 2D og så fungere uændret.

Vinkel mellem linjer kan også bestemmes som i 2D, man er dog nødt til at bruge varianten med retningsvektorer, da linjer ikke har entydige normalvektorer i rummet.

Afstandsformlen mellem 2 punkter er også den samme med en ekstra koordinat, og bestemmelse af skæring mellem plan og kugle er analog til skæring mellem linje og cirkel i 2D.

Der dukker dog også nye ting op i 3D. Vi skal se på krydsprodukt, planer i rummet og kugler i rummet. Da vi nu ikke kun har linjer og cirkler, men både linjer, planer og kugler, er der også nogle flere situationer at se på mht både afstande og skæringer. Desuden kan man nu ogås se på vinkler mellem planer og linjer og planer.

8.Vektorer i 3D/Krydsproduktet

DEFINITION
Krydsproduktet er en anden slags "vektorprodukt" der kun giver mening i 3D.
Når vi har to vektorer a = < a 1 , a 2 , a 3 > og b = < b 1 , b 2 , b 3 > er deres krydsprodukt defineret ved a → × b → = a 1 a 2 a 3 × b 1 b 2 b 3 = a 2 ⋅ b 3 − a 3 ⋅ b 2 a 3 ⋅ b 1 − a 1 ⋅ b 3 a 1 ⋅ b 2 − a 2 ⋅ b 1

8.Vektorer i 3D/Krydsproduktet/Ortogonalitet

ORTOGONALALITET
SÆTNING
Krydsproduktet af a og b er vinkelret på på både a og b.

BEVIS
Når to vektorer er vinkelrette er deres prikprodukt 0. Det kan vi kontrollere ved at beregne koordinaterne til a · (a ⨯ b)

  a 1 ⋅ a 2 ⁢ b 3 − a 3 ⁢ b 2 + a 2 ⋅ − a 1 ⁢ b 3 + a 3 ⁢ b 1 + a 3 ⋅ a 1 ⁢ b 2 − a 2 ⁢ b 1 = a 1 ⁢ a 2 ⁢ b 3 − a 1 ⁢ a 3 ⁢ b 2 − a 1 ⁢ a 2 ⁢ b 3 + a 2 ⁢ a 3 ⁢ b 1 + a 1 ⁢ a 3 ⁢ b 2 − a 2 ⁢ a 3 ⁢ b 1 Det ses at alle led forekommer både med + og minus foran så de går ud og det hele giver 0. Det samme kan gentages for b.

8.Vektorer i 3D/Krydsproduktet/Længde

LÆNGDE AF KRYDSPRODUKT (Arealformlen)
SÆTNING
For to vektorer a og b med en indbyrdes vinkel gælder
a → × b → = a → ⋅ | b → | ⋅ sin v
BEVIS
Første del er elegant. Vi antager at sætningen er sand og vi trækker også sætningen om prikprodukt op ad mølposen a → × b → = a → ⋅ b → ⋅ sin v   og   a → ⋅ b → = | a → | ⋅ | b → | ⋅ cos v Vi kvadrerer nu på begge sider i begge ligninger a → × b → 2 =   a → 2 ⋅ | b → | 2 ⋅ sin v 2   og   a → ⋅ b → 2 = | a → | 2 ⋅ b → 2 ⋅ cos v 2 og lægger dem sammen (højreside til højreside og venstre til venstre) og sætter længden af a gange længden af b uden for parentes | a → × b → | 2 + a → ⋅ b → 2 =   a 2 ⋅ b 2 ⋅ cos v 2 + sin v 2 Sidste faktor er 1 ifølge idiotformlen fra trigonometrien. så vi har a → × b → 2 + a → ⋅ b → 2 =   a 2 ⋅ | b | 2 Vi bemærker at alle størrelser er længder. I princippet er andet skridt simpelt, vi indsætter blot koordinater i udtryk for prikprodukt og  krydsprodukt på venstresiden og i længdeformlen for vektorer på højresiden. I praksis er det en nærdødsoplevelse at gøre det ved håndkraft, men det er bare slavearbejde. Her er det gjort en gang for alle. Vi begynder med venstre siden a 2 ⁢ b 3 − a 3 ⁢ b 2 2 + − a 1 ⁢ b 3 + a 3 ⁢ b 1 2 + a 1 ⁢ b 2 − a 2 ⁢ b 1 2 + a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 2 = a 1 2 ⁢ b 1 2 + a 1 2 ⁢ b 2 2 + a 1 2 ⁢ b 3 2 + a 2 2 ⁢ b 1 2 + a 2 2 ⁢ b 2 2 + a 2 2 ⁢ b 3 2 + a 3 2 ⁢ b 1 2 + a 3 2 ⁢ b 2 2 + a 3 2 ⁢ b 3 2 De led der svarer til det dobbelte produkt (krydsledene) fra de første 3 parenteser går ud med krydsledende i det sidste kvadrat. Disse led er fjernet med det samme ovenfor.
Så tager vi højresiden der er lidt lettere. a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 ⋅ b 1 2 + b 2 2 + b 3 2 = a 1 2 ⁢ b 1 2 + a 1 2 ⁢ b 2 2 + a 1 2 ⁢ b 3 2 + a 2 2 ⁢ b 1 2 + a 2 2 ⁢ b 2 2 + a 2 2 ⁢ b 3 2 + a 3 2 ⁢ b 1 2 + a 3 2 ⁢ b 2 2 + a 3 2 ⁢ b 3 2 Højreside og venstre side er ens, så vores antagelse om at længdeformlen for krydsprodukt var korrekt.

Der er ingen forventning om, at du skal skrive den sidste del op manuelt. Målet er at du føler dig overbevist om at metoden i beviset er i orden, og at du på en regnvejrsdag selv kunne se efter at det hele stemmer.  Til eksamen forventes du derfor heller ikke kunne dette bevis. Den første del af det kan du imidlertid bruge i præsentationen hvis du har lyst.

8.Vektorer i 3D/Krydsproduktet/Egenskaber

EGENSKABER
Sætningen om "længden af krydsproduktet" fortæller os at flere ting.

Når a og b er parallelle er sin(v) = 0, så det er længden af krydsproduktet også.

Når a og b er ortogonale er sin(v) = 1, så længden af krydsproduktet lig |a|*|b|.

Arealet af rektanglet udspændt af de to vektorer er lig længden på deres krydsprodukt.

Dette sidste indser vi ved at sammenligne længdeformlen for krydsprodukt med formlen for areal af et parallelogram A = h*g.

Højden h er katete i trekanten så h = |b|*sin(v), og grundlinjen her er g = |a|.

8.Vektorer i 3D/Planer

8.Vektorer i 3D/Planer/Planens ligning

I 3d kan en plan defineres på samme måde som en linje i 2D, nemlig ud fra en normalvektor n. Kender vi et punkt P 0 i planen så vil planen bestå af alle punkter P, hvor om det gælder at P 0 P → ⋅ n → = 0 Det er præcis den samme ligning vi skrev for linjen i 2D, forskellen er kun at punkter og vektorer har 3 koordinater. Ved at gentage argumentationen når vi frem til at


Her er P placeret for enden af r1, så PoP er altså en mulig retningsvektor.

Planens ligning er
  ax + by + cz +  d = 0 hvor a, b og c er koordinaterne til normalvektoren.

8.Vektorer i 3D/Planer/Planens parameterfremstilling

De to vektorer r 1 og r 2 på figuren lige ovenover er ortogonale og ligger i planen. De kaldes også retningsvektorer for planen. Ethvert punkt i planen kan nås ved at begynde i P 0 og bevæge sig dels et stykke i r 1 's retning og dels et stykke i  r 2 's retning.

Vi kan dermed opstille en parameterfremstilling for en plan ud fra et punkt i planen og de 2 retniningsvektorer på samme måde som vi opstillede en parameterfremstiling for linjen i 2D. Her er blot 2 retningsvektorer og to parametre, vi vælger at kalde dem t 1 og t 2 . x , y , z = x 0 , y 0 , z 0 + t 1 ⋅ r 1 → + t 2 ⋅ r 2 →

8.Vektorer i 3D/Planer/Afstand mellem plan og punkt.

Denne situation er også helt analog til afstand fra punkt til linje i planen. Både sætning og bevis kan genbruges idet man husker at normalvektor og punkt har 3 koordinater i rummet. Figuren fra underkapitlet "Afstand punkt linje" kan også repræsentere situationen i 3d. man skal blot forestille sig at man ser ind på planen "fra siden". Formlen lyder d = ax + by + cz + d a 2 + b 2 + c 2 hvor P=(x,y,z) er punktet og normalvektoren har koordinaterne < a,b,c > .

8.Vektorer i 3D/Planer/Vinkel mellem planer


Vinklen mellem planer er den samme som vinklen mellem deres normalvektorer. Formlen fra vinkel mellem linjer i 2D kan også bruges i rummet.  Husk at der er 2 løsninger/vinkler en spids og en stump. cos v = n 1 → ⋅ n 2 → n 1 → ⋅ n 2 → Både bevis og diskussionen fra det afsnittet om vinkel mellem linjer i 2D kan overføres direkte. Alle figurer derfra viser linjer i 2D, men de kan fortolkes som snit på tværs af planer og så er de også dækkende her.

Til højre er situationen vist i 3D.

.

8.Vektorer i 3D/Planer/Skæring mellem planer

På figuren lige ovenfor er fællesmængden af 2 planer vist. Det er en ret linje, den er grøn på figuren. Hvis de to planer er parallelle har de ingen fællesmængde.

BESTEMMELSE AF PARAMETERFREMSTILLING FOR SKÆRING MELLEM 2 PLANER.
Linje ligger i begge planer, så den er vinkelret på begge normalvektorer. Derfor kan en retningsvektor for linjens findes ved at tage krydsprodukt af de 2 normalvektorer r → = n 1 → × n 2 → Derudover skal vi kende et punkt der ligger i begge planer. Der er uendelig mange, men vi kan finde et punkt P 0 = (x 0 , y 0 , z 0 ), fx det med z 0 = 0, ved at indsætte det i de to planers ligninger a 1 x 0 + b 1 y 0 + c 1 ⋅ 0 + d 1 = 0     og     a 2 x 0 + b 2 y 0 + c 2 ⋅ 0 + d 2 = 0 og løse dem i fx Maple. Det kan også gøres generelt ved bogstavregning og vi får x 0 = b 1 ⁢ d 2 − b 2 ⁢ d 1 / a 1 ⁢ b 2 − a 2 ⁢ b 1     og   y 0 = − a 1 ⁢ d 2 − a 2 ⁢ d 1 / a 1 ⁢ b 2 − a 2 ⁢ b 1
Nu kender vi både et punkt og retningsvektoren i linjens parameterfremstilling (se ½ side længere nede) som bliver x , y , z = x 0 , y 0 , 0 + t ⋅ n 1 → × n 2 → (Hvis der ikke er ikke findes løsninger kan man vælge x 0 = 0 eller y 0 = 0 i stedet)

8.Vektorer i 3D/Linjer

8.Vektorer i 3D/Linjer/Parameterfremstilling

Linjen har samme parameterfremstilling i rummet som i planen. Den eneste forskel er at punkter og retningsvektor har 3 koordinater x , y , z = x 0 , y 0 , z 0 + t ⋅ r →

8.Vektorer i 3D/Linjer/Afstand punkt

SÆTNING
Afstanden fra et punkt P, til en linje l, kan beregnes ved formlen
d = | r → × P 0 P → | r → hvor r er en retningsvektor for linjen og P 0 er et punkt på linjen.
BEVIS
Retningsvektoren r og vektoren P 0 P udspænder et parallellogram med areal A.
Vi ved at størrelsen af arealet er lig længden af  krydsproduktet mellem dem dvs  A = |r⨯P 0 P|.

Fra almindelig geometri ved vi også, at arealet er lig højde gange grundlinje dvs A = d*|r|.

De to udtryk for arealet sættes lig hinanden og vi isolerer d r → × P 0 P → = d ⋅ r →   ⇔   d = | r → × P 0 P → | r → Dermed har vi vist det ønskede.

.

8.Vektorer i 3D/Linjer/Afstand mellem

SÆTNING
I almindelighed skærer 2 linjer ikke hinanden i rummet, se figuren. Vi kalder dem vindskæve.

Vi betragter 2 vilkårlige punkter  P 1 og P 2 på henholdsvis l 1 og l 2 . Der eksisterer en position for hver af de to punkter hvor deres afstand er minmal. Disse to positioner er vist med sort, og deres forbindelseslinje vist med grøn.
Mindsteafstanden kalder vi d, og d kan bestemmes ved d = n → ⋅ P 1 P 2 → | n → |   n er en vektor vinkelret på begge linjer dvs n = r 1 ⨯ r 2 .
Dvs n er parallel med det grønne linjestykke d, på figuren.

.

BEVIS
Vi ser på situationen igen, hvor normalvektoren n samt to tilfældige positioner af P 1 og P 2 er vist.

Det fremgår af figuren at P 1 og P 2 hver især lander i begyndelses og slutpunkt for vektoren d ved projektion på normalvektoren n.

Dvs vektoren v mellem P 1 og P 2 projiceret på n, giver netop afstandsvektoren d.

Vi kan derfor indsætte a = n og b = v =P 1 P 2 i formlen for længden af b's projektion på a b → a → = a → ⋅ b → a → ⇔ d → = | n → ⋅ P 1 P 2 → | n → og det ønskede er bevist.


.

8.Vektorer i 3D/Linjer/Skæring mellem

Hvis man er "heldig" kan linjer i rummet godt skære hinanden dvs have et enkelt fællespunkt. Det kan vi indlede med at undersøge ved hjælp af afstandsformlen ovenfor. De skærer hinanden netop når afstanden d er 0.  Hvis det er tilfældet giver det mening at beregne skæringen.

I denne anledning kalder vi retningsvektorerne for de to linjer henholdsvis u og v, og deres paramterfremstillinger er P → = P 1 → + t ⋅ u →     og     P → = P 2 → + s ⋅ v → som på koordinatform lyder x , y , z = x 1 , y 1 , z 1 + t ⋅ u x , u y , u z     og     x , y , x = x 2 , y 2 , z 2 + s ⋅ v x , v y , v z Vi kan nu opstille 3 ligninger ved at sætte koordinaterne fra linjernes parameterfremstillinger parvis lig hinanden x 1 + t ⋅ u x = x 2 + s ⋅ v x     og     y 2 + t ⋅ u y = y 2 + s ⋅ v y     og     z 1 + t ⋅ u z = z 2 + s ⋅ v z   Når vi vælger to konkrete linjer kendes både punkterne og retningsvektorerne, så det er det kun t og s der er ukendte. De kan bestemme ved at løse de første to ligninger mht til s og t i fx Maple. Det kan også gøres generelt i Maple med bogstavregning og vi får

  s = u y (x 1 -x 2 ) / (u x v y - u y v x )   og   t = v y (x 1 -x 2 ) / (u y v x - u x v y )


Vi kan nu indsætte værdien af t i den første linjes parameterfremstilling, så får vi koordinaterne til skæringspunktet (hvis der er et) P = P 1 − x 1 − x 2 ⁢ v y u x ⁢ v y − u y ⁢ v x ⋅ u →

8.Vektorer i 3D/Linjer/Vinkel mellem

Hvis to linjer skærer hinanden kan man tale om vinklen mellem dem. Den kan på samme måde som i 2D bestemmes via vinklen mellem deres retningsvektorer. Formlen er den samme cos v = r 1 → ⋅ r 2 → r 1 → ⋅ r 2 → Der er to mulige vinkler, en spids og en stump. Se diskussionen i afsnittet om vinkel mellem linjer i 2D.

8.Vektorer i 3D/Linjer/Skæring med plan

Som et specialtilfælde kan en linje være parallel med en plan, så de har en fast afstand, evt 0 hvis linjen ligger i planen. Men i almindelighed har de et fælles punkt der kan bestemmes ved ved at indsætte koordinaterne fra linjens parameterfremstilling x , y , z = x 0 , y 0 , z 0 + t ⋅ r 1 , r 2 , r 3 i planens ligning ax + by + cz + d = 0 Det giver en ligning a x 0 + t ⋅ r 1 + b y 0 + t ⋅ r 2 + c z 0 + t ⋅ r 3 + d = 0 der kan løses mht til t t = − a ⁢ x 0 + b ⁢ y 0 + c ⁢ z 0 + d a ⁢ r 1 + b ⁢ r 2 + c ⁢ r 3 og til slut kan vi indsætte den fundne værdi af t i parameterfremstillingen for linjen for at beregne punktet.

8.Vektorer i 3D/Kugle

8.Vektorer i 3D/Kugle/Ligning

Kuglens ligning i rummet er analog til cirklens ligning i planen, vi har blot 3 koordinater x − c 1 2 + y − c 2 2 + z − c 3 2 = r 2 Punktet C=(c 1 , c 2 ,c 3 ) er centrum, r er radius og P=(x,y,z) er et punkt på kuglens overflade.

8.Vektorer i 3D/Kugle/Skæring med linje

AFSTAND FRA LINJE TIL KUGLE

Hvis afstanden fra linjen til centrum er større end radius har de ingen fællespunkter.
Hvis afstanden fra linjen til centrum er lig radius har de et fællespunkt.
Hvis afstanden fra linjen til centrum er mindre end radius har de to fællespunkter.

Afstanden D, fra centrum til linjen kan bestemmes ved hjælp af formlen for afstand fra punkt til linje.
Afstanden mellem kugle og linje kan herefter findes som differensen mellem D og r.

SKÆRING MELLEM LINJE OG KUGLE

Situationen hvor afstanden er mindre en radius er vist på figuren.

Man kan benytte samme metode som for at finde skæring mellem linje og plan. Koordinaterne fra linjens parameterfremstilling indsættes i kuglens ligning.

Den fremkomne ligning løses mht til t (der er 0, 1 eller 2 løsninger) og den fundne værdi af t indsættes i linjens parameterfremstilling.

.


8.Vektorer i 3D/Kugle/Skæring med plan

AFSTAND FRA PLAN TIL KUGLE
Hvis afstanden fra planen til centrum er større end radius har de ingen fællespunkter.
Hvis afstanden fra planen til centrum er lig radius har de et fællespunkt.
Hvis afstanden fra planen til centrum er mindre end radius er deres fællesmængde en cirkel.

Afstanden D fra centrum til planen kan bestemmes ved hjælp af formlen for afstand fra punkt til plan.
Afstanden mellem kugle og plan kan herefter findes som differensen mellem D og r.
SKÆRING MELLEM PLAN OG KUGLE
Situationen hvor afstanden er mindre end radius er vist til højre. Fællesmængden er en cirkel.
Den vil vi imidlertid ikke regne på. Det kræver at vi kan fremstille en cirkel i rummet.

Det er muligt via en parameterfremstilling, men det er kompliceret, så vi springer det over.


9.Statistik

9.Statistik/Indhold

Simple statistiske metoder til håndtering af et datamateriale, grafisk præsentation af et statistisk materiale, empiriske statistiske deskriptorer, stikprøvers repræsentativitet og chi-i-anden test

Supplerende Binomialfordelingen inklusive pascals trekant

Fokuspunkter: Begrebsforståelse, matematisk håndværk, brug af IT og matematisk ræsonnement.

Arbejdsformer: Lærerfremlæggelse, klassedialog, bevistræning ved tavle, opsamling, øvelser og opgaveregning med diskussion.

9.Statistik/Deskriptiv

9.Statistik/Deskriptiv/Indledning

TERMINOLOGI
Statistik bruges til at undersøge og fortælle noget om datasæt. I den forbindelse er der nogle begreber.


POPULATION
Det er den mængde man undersøger. Det kan være en population i biologisk forstand dvs en mængde af personer, fx alle danskere. Men det kan også være en vilkårlig anden mængde fx mængden af møtrikker der kommer ud fra en møtrikfabrik.

STIKPRØVE
Det er en delmængde af en population. Hvis man går ned til samlebåndet på møtrikfabrikken og tilfældigt udvælger 200 møtrikker så udgør de 200 møtrikker stikprøven.

REPRÆSENTATIV
Ideen med en stikprøve er at lave en undersøgelse uden at se på hele populationen. Forhåbningen er så at stikprøven er repræsentativ, dvs at det man kan sige om data fra stikprøven, svarer nogenlunde til populationens egenskaber.

Det er oplagt at jo større stikprøven er jo mere sandsynligt er det at den er repræsentativ. En lige så vigtig forudsætning er imidlertid, at man har udvalgt stikprøven "tilfældigt". Hvis man fx vil undersøge danskernes forhold til kæledyr, kan det ikke nytte kun at tale med kunder i en dyrehandel. Her er der nok mange der selv har kæledyr, og er gladere for dem end gennemsnittet.

OBSERVATIONER
Når man har udtaget en stikprøve, vælger man en eller flere variable man er interesseret i. Hvis det er møtrikker kunne det fx være deres vægt.
Er det en person kunne det være indkomst, religion, højde, sundhedstilstand og meget andet.
De talværdier som de aktuelle variable i stikprøven har kaldes observationer.

OBSERVATIONSSÆT
Et observationsæt er et datasæt der indeholder alle værdier af de variable for hele stikprøven. Hvis det drejer sig om vægte af møtrikker i en stikprøve på 200 møtrikker, består observationssættet af 200 tal.
DESKRIPTORER
I statistikken arbejder man bl.a. med såkaldte deskriptorer. Dvs tal som giver en samlet beskrivelse af observationssættet. Hvis der er flere variable i betragtning kan de udregnes for hver variable for sig. Forhåbningen er at de beregnede deskriptorer også gælder omtrentligt for hele populationen.


STØRSTEVÆRDI
Den største værdi der forekommer i observationssættet.

MINDSTEVÆRDI
Den mindste værdi der forekommer i observationssættet.

VARIATIONSBREDDE
Afstanden fra mindsteværdien til størsteværdien, der beregnes som: størsteværdi - mindsteværdi.

GENNEMSNIT
Summen af alle tal (for en enkelt variabel) divideret med antallet. Når det drejer sig om hele populationen kalder man det også middelværdien.

SPREDNING
Et mål for hvor meget observationerne varierer omkring gennemsnittet. Dvs et statistiks bud på en karakteristisk afstand til gennemsnittet.

TYPETAL
Den værdi der forekommer hyppigst i observationssættet.

FRAKTIL
Den værdi som en given brøkdel af observationerne er mindre end eller lig med. Fx er 10%-fraktilen det tal som 10% af observationerne er mindre end eller lig med.

KVARTILSÆT
Et talsæt bestående af 3 tal: 25%-fraktilen, 50%-fraktilen og 75%-fraktilen. Disse kaldes også 1. kvartil, 2. kvartil og 3. kvartil.

MEDIAN
2. kvartil kaldes også medianen, og det er altså den værdi som halvdelen af observationerne er mindre end eller lig med.
Medianen kan bestemmes som det midterste tal i en sorteret liste over alle obervationer.
(Er der et lige antal vil man ofte bruge det der ligger midt mellem de to midterste.)

GRAFISKE FREMSTILLINGER
En god måde at skaffe sig overblik over et observationssæt er via grafiske fremstillinger af datasættet. Der er 5 grafer vi skal se på: pindediagrammer, trappediagrammer, histogrammer, sumkurver og boksplot.

Datasæt kan opdeles i to typer: ugrupperede eller grupperede. De er behandlet i hvert sit underkapitel herunder sammen med de tilhørende grafer.

For de ugrupperede kan man tegne pindediagrammer, trappediagrammer og boksplot.

For de grupperede kan man tegne histogrammer, sumkurver og boksplot.

Det er kun de tre sidstnævnte der forekommer i skriftlige eksamensæt (so far), men til en mundtlig eksamen, skal man kunne også kende pindediagrammer og trappediagramer. Disse to svarer til histogrammer og sumkurver for grupperede data.

9.Statistik/Deskriptiv/Ugrupperet

DISKRETE DATA
At data er diskrete betyder at de kun kan antage bestemte værdier, typiske heltal. Så kan vi uden videre tælle op hver mange der er af hver. Antallet af gange en bestemt værdi forekommer kaldes hyppigheden.
Regner man hyppigheder om til %-dele af det samlede antal kalder man det frekvenser. (se tabel herunder)

EKSEMPEL MED TERNINGEKAST
Vi tænker os at vi har kastet 30 gange med en terning og fået følgende talværdier for antallet af øjne:

3 4 2 4 6 2 4 3 1 3 2 4 5 6 2 4 3 1 2 5 6 2 6 5 6 3 4 1 2 2

Vi optæller hyppighederne og opstiller en tabel.

.

DATABEHANDLING I MAPLE
I gym-pakken i Maple er der funktioner til det hele. Det kan findes hjælpefilen Bniveau,Contents under Kap11. Et udpluk er nedenfor.

Først kan vi definere en liste med observationerne: obs := [3, 4, 2, 4, 6, 2, 4, 3, 1, 3, 2, 4, 5, 6, 2, 4, 3, 1, 2, 5, 6, 2, 6, 5, 6, 3, 4, 1, 2, 2]

Nu kan vi finde hyppighederne: H := hyppighed(obs):

og frekvenserne: F := frekvens(H):

og de kummulerede: kumuleretFrekvens(F)

Man kan også få en samlet oversigt som i tabellen ovenfor ved kommandoen:frekvensTabel(F)
GRAFER
PINDEDIAGRAM / STOLPEDIAGRAM

Pindediagrammet her er tegnet over hyppighederne.
Man kunne også have tegnet det over frekvenserne, det ville så have set ud på samme måde, på nær et enhedsskifte på y-aksen.
 		TRAPPEDIAGRAM


Trappdiagrammet tegnes normalt over de kummulerede frekvenser for at kunne aflæse kvartilsættet.
Det ville se ud på samme måde (på nær enheden på y-aksen), hvis vi tegnede det over kummulerede hyppigheder.

GRAFER I MAPLE
Når H og F er lavet som vist lidt højere oppe under DATABEHANDLING I MAPLE, kan diagrammerne laves med kommandoerne:

plotPindediagram(H)  og  plotTrappekurve(F)
AFLÆSNING AF DESKRIPTORER
Nogle af deskriptorerne kan aflæses ud fra de to grafer. Mindsteværdien er 1, størsteværdien er 6 så variationsbredden er 5.
Det ses også af pindediagrammet (den højeste søjle) at typetallet er 2.

Gennemsnittet kan aflæses omtrentligt som "balancepunktet" for pindediagrammet. Den ligger mellem 3 og 4, nok en smule nærmere 3.

Kvartilsættet kan aflæses af trappediagrammet. Maple har også skrevet dem over diagrammet. Det ses at være (2, 3, 5).
BOKSPLOT
Det tegnes over 5 de variable: størsteværdi, mindste værdi og kvartilsættet.
Ideen er at give et meget kompakt overblik over fordelingen.

Boksplottet kan laves i Maple med kommandoen: boksplot(obs)

KOMMENTAR
Boksplottet her viser tilsyneladende "en nogenlunde jævn fordeling med lidt flere værdier til højre for midten". Det sidste er faktisk ikke rigtigt som vi kan se på pindediagrammet. Problemet er at medianen er fundet ved at runde nedad, så det giver et lidt misvisende billede.

Det skyldes at der kun er få (6) forskellige mulige værdier for observationerne. Når det er tilfældet skal man tage kvartilsættet og dermed boksplottet med et gran salt.

9.Statistik/Deskriptiv/Grupperet

KONTINUERTE DATA
At data er kontinuerte betyder, at de kan antage alle reelle værdier. (Evt begrænset indenfor et område). Når observationernes er reelle tal er det mulige antal værdier de kan antage uendelig stort. Så vil alle observationer typisk være forskellige, der vil kun være en af hver.
Så vil man normalt vælge at gruppere dem. Dvs definere nogle intervaller og optælle hvor mange observationer der er i hvert interval.
Selv om observationerne evt ikke kan antage uendelig mange forskellige værdier, vil man ofte gruppere når blot der er mange forskellige mulige værdier.

EKSEMPEL MED TEMPERATURMÅLINGER
Vi tænker os at vi har målt temperaturen midt på dagen 50 døgn i træk og fået følgende værdier:

21.3, 13.7, 7.4, 13.4, 12.8, 9.2, 8.9, 4.2, 15.5, 11.9, 18.2, 14.1, 10.9, 21.7, 10.1, 10.2, 4.2, 23.3, 21.7, 9.9, 16.1, 22.4, 8.5, 13.1, 15.3, 19.0, 14.4, 15.6, 18.2, 14.9, 10.8, 13.7, 11.5, 24.8, 13.7, 14.6, 21.1, 10.1, 24.7, 15.6, 17.2, 12.4, 16.1, 12.9, 15.2, 24.9, 26.1, 19.4, 19.4, 10.7

Resultatet af optælling i intervaller er vist til højre.


.

DATABEHANDLING I MAPLE
I dette tilfælde er det i kapitel 12 i Maples hjælpefil Bniveau,Contents der er relevant.

Igen indleder vi med at definere en liste med observationerne:

obs := [21.3, 13.7, 7.4, 13.4, 12.8, 9.2, 8.9, 4.2, 15.5, 11.9, 18.2, 14.1, 10.9, 21.7, 10.1, 10.2, 4.2, 23.3, 21.7, 9.9, 16.1, 22.4, 8.5, 13.1, 15.3, 19.0, 14.4, 15.6, 18.2, 14.9, 10.8, 13.7, 11.5, 24.8, 13.7, 14.6, 21.1, 10.1, 24.7, 15.6, 17.2, 12.4, 16.1, 12.9, 15.2, 24.9, 26.1, 19.4, 19.4, 10.7]:

Vi skal vælge nogle intervaller og optælle hyppighederne i dem. Alle værdier ligger mellem 0 og 30 så vi vælger 6 intervaller med bredde 5.

Optællingen kan udføres i Maple med kommandoen: H := grupperData(obs, 0 .. 30, 6).        Resultatet står i 2. række i tabellen ovenfor.

Frekvenserne der står i 4. række i tabellen ovenfor kan bestemmes ved: F := frekvens(H):

og de kummulerede i række 5 ved : kumuleretFrekvens(H)

Når først hyppighederne er kendt kan man alternativt lave resten af tabellen i Excel. Tabellen ovenfor er fra Excel.
GRAFER

Histogrammet er tegnet over frekvenserne.


Trappdiagrammet er tegnet over de kummulerede frekvenser.

GRAFER I MAPLE
Når H er lavet som vist lidt højere oppe, kan diagrammerne laves med kommandoerne:

plotHistogram(H)  og  plotSumkurve(H)

Denne gang bruges hyppighederne gemt i H begge steder.
AFLÆSNING AF DESKRIPTORER
Nogle af deskriptorerne kan aflæses ud fra de to grafer.
Det ses histogrammet at typeintervallet (den højeste søjle) er ]10;15].
Gennemsnittet kan aflæses omtrentligt som "balancepunktet" for histogrammet, Maple har også angive det.

Kvartilsættet kan aflæses af sumkurven. Maple har også angivet det over sumkurven.

Størsteværdi og mindsteværdi kan denne gang ikke aflæses af graferne.

Men Maple kan hurtigt bestemme dem ved:  min(obs) = 4.2    og    max(obs) = 26.1
BOKSPLOT
Boksplottet tegnes igen over 5 de variable: størsteværdi, mindste værdi og kvartilsættet.

Maple kan klare det ved kommandoen:boksplot([H, {4.2, 26.1}])
(Mindsteværdi og størsteværdi er her tilføjet i parentes. Hvis de udelades bruges i stedet og og 30.(

Ved grupperede data er boksplottet mere pålideligt fordi der ikke sker afrundinger ved bestemmelse af kvartillerne. På sumkurven er punkterne som det ses forbundet med skrå linjestykker.

9.Statistik/Binomialfordelingen

Binomialfordelingen omhandler en særlig situation:

Vi gentager et eksperiment med kun 2 udfald mange gange, og interesserer os for sandsynligheden for, at det ene udfald forekommer et bestemt antal gange.

Udfaldene af de enkelte eksperimenter antages at være uafhængige.

EKSEMPEL MED MØNT

Vi kaster en mønt 4 gange, og interessere os for sandsynligheden for de mulige antal forekomster af krone.

Når mønten er ærlig viser det sig at:  p(0)=0,0625  p(1)=0,25  p(2)=0,375  p(3)=0,25  p(4)=0,0625.

Pindediagrammet for fordelingen er vist til højre.

.


EKSEMPEL MED TERNING

Vi triller 3 gange med en terning og interesserer os for antallet af 6'ere. Situationen er her lidt anderledes idet de to udfald 6'er og ikke 6'er ikke er lige sandsynlige.

Hvis sandsynligheden for en 6'er ved et kast er 1/6 for vi får 3 kast: p(0)=0,2963  p(1)=0,4444  p(2)=0,2222  p(3)=0,0370.

Pindediagrammet for fordelingen er vist til højre.

.

TERMINOLOGI OG NOTATION

Det eksperiment vi gentager et antal gange kalder vi "basiseksperimentet".
Det ene af de to mulige udfald betegner vi med "succes" og det andet med "fiasko".

Der er 3 variable involveret i situationen:

n : antallet af gentagelser af basiseksperimentet

p : er basissandsynligheden, dvs sandsynligheden for "succes" i basiseksperimentet

r : antallet af gange vi har succes ud af de n gentagelser.

9.Statistik/Binomialfordelingen/Formel

Sandsynligheden for at få et r succeser ved n gentagelser af et basis eksperiment med basissandsynligheden p er
  P r , n , p = n r ⋅ p r ⋅ 1 − p n − r
 hvor den forreste faktor er binomialkoefficienten, der selv har en formel: n r = n ! r ! ⋅ n − r ! n! læses "n-fakultet", og n! er per definition alle heltal fra 1 op til og med n ganget med sig selv. Så fx er "7-fakultet" = 1*2*3*4*5*6*7.

Hvis man indsætter dette i formlen for binomialkoefficienten, vil en en del faktorer gå ud : n ! r ! ⋅ n − r !     =     n ⋅ n − 1 ⋅ n − 2 ⋅ .. . ⋅ n − r + 1 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ .. .. ⋅ n − r Der er en almindelig alternativ skrivemåde for binomialkoefficienten nemlig k r,n . Den er praktisk når den bruges inde i brødteksten.
REDEGØRELSE (BEVIS) FOR FORMLEN FOR BINOMIALSANDSYNLIGHEDER

Når man vil bestemme sandsynligheden for at 2 uafhængige hændelser begge indtræder, fx "regn i morgen" og "jeg punkterer på vej til skolen", skal man gange sandsynlighederne for hver af de to hændelser med hinanden.
Hvis eksempelvis p(regn i morgen) = 20%, og p(jeg punkterer på vej til skolen) = 2%, så er sandsynligheden for at begge sker:
2% * 20% = 0,2 *0,02 = 0,004 = 0,4%.

De enkelte eksperimenter i binomialfordelingen er netop uafhængige, så faktoren p r er sandsynligheden for at de første r eksperimenter giver succes. Tilsvarende er faktoren (1-p) n-r er sandsynligheden for de n-r sidste gentagelser giver fiasko.

Så de to bageste faktorer tilsammen p r * (1-p) n-r   udtrykker sandsynligheden for at de r første eksperimenter er succeser og de n-r sidste er fiaskoer. Men sandsynligheden for den omvendte rækkefølge: at de r sidste eksperimenter er succeser og de n-r første er fiaskoer, er præcis den samme.
Faktisk har enhver rækkefølge af r succeser og n-r fiaskoer, placeret hen over n gentagelser, præcis samme sandsynlighed, fordi faktorernes orden er ligegyldig.

Der er mange forskellige mulige rækkefølger af de r succeser og n-r fiaskoer, og den forreste faktor, binomialkoefficienten tager netop højde for det. Den udtrykker antallet af rækkefølger de r successer og n-r fiaskoer kan opstilles i.

9.Statistik/Binomialfordelingen/Binomialkoefficienter

BETYDNINGEN AF BINOMIALKOEFFICIENTEN
Binomialfordelingen udtrykker som nævnt antallet af forskellige rækkefølger r succeser og n-r fiaskoer kan opstilles i.
Dvs har vi en vilkårlig mængde med n elementer, der skal opdeles i to adskilte delmængder med r i den ene og resten i den anden, så udtrykker binomialkoefficienten antallet af måder opdelingen kan foretages på.

Når de r elementer er valgt, er de resterende automatisk fravalgt. Så man kan også formulere det sådan, at binomialkoefficienten angiver hvor mange måder en delmængde med r elementer kan udvælges af en mængde med n elementer.
EKSEMPEL 1
Vi skal vælge 3 personer i en gruppe på 11 der skal indgå som medlemmer i et udvalg. Det kan gøres på k 3,11 måder. Jævnfør formlen ovenfor kan det beregnes som 11 ! 3 ! ⋅ 11 −   3 !     =     11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 = 11 ⋅ 10 ⋅ 9 1 ⋅ 2 ⋅ 3 = 11 ⋅ 5 ⋅ 3 = 165
EKSEMPEL 2
Dagens frokosttilbud på en cafe er 4 små retter for 100kr. Der er 7 forskellige og du ønsker ikke at tage den samme flere gange. Hvad er det samlede antal kombinationer du kan vælge imellem? Svaret er k 4,7 som kan beregnes til 7 ! 4 ! ⋅ 7 −   3 !     =     7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ 3 = 7 ⋅ 6 ⋅ 5 1 ⋅ 2 ⋅ 3 = 7 ⋅ 5 = 35 Bemærk at antallet af måder du kan vælge 4 retter blandt 7 er det samme som antallet af måder du kan vælge 3 blandt 7. Om du vælger dem du vil have eller dem du vil undgå kommer jo ud på et. Så generelt gælder formlen n r     =     n n − r
PERMUTATIONER
En permutation af elementerne i en mængde, er en liste med dem i en bestemt rækkefølge.

Hvis vi tænker os, at vi opstiller listen ved at udvælge et element ad gangen, er der på 1. pladsen n muligheder. På 2. pladsen er der så kun n-1 at vælge i mellem (da det første jo er brugt), på 3. pladsen er der n-2 og så fremdeles. Antallet af mulige rækkefølger fås ved at gange antallet af muligheder på hvert enkelt plads med hinanden.

Dvs det samlede antal permutationer/rækkefølger er n*(n-1)*(n-2)*....*1, og vi ser at dette tal netop er n!

Så vi siger at antallet af permutationer i en mængde med n elementer er n!
REDEGØRELSE (BEVIS) FOR FORMLEN BINOMIALKOEFFICIENTEN
Man kan tænke sig følgende procedure for at udvælge en delmængde på r elementer ud af n:
Først stiller man alle n elementer op i rækkefølge, det kan gøres på n! måder, og derefter udtager man de r første.

Hvis man gør sådan for samtlige permutationer i n-mængden, vil vi få alle tænkelige delmængder repræsenteret. Men vi vil få de samme delmængder talt med mange gange. To forskellige rækkefølger blandt de første r elementer, vil jo svare til forskellige permutationer, men ikke til forskellige delmængder. Elementerne i en delmængde har nemlig ingen rækkefølge.

For at kompensere for at vi får talt den samme delmængde med mange gange via forskellige permutationer, må vi dividere med antallet af mulige rækkefølger af de første r elementer. Disse svarer jo alle til samme r-delmængde. Dette antal er r!

Det samme gælder rækkefølgen af de bageste n-r elementer. Forskellige rækkefølger af disse svarer også til forskellige permutationer, men giver samme r-delmængde. De er jo slet ikke med i den!
For også at kompensere for dette, skal vi yderligere dividere med antallet af mulige rækkefølger af de bageste n-r elementer.  Dette antal er (n-r)!

Dvs binomialkoefficienten kan beregnes ved n r = n ! r ! ⋅ n − r ! som netop er den formel vi tidligere har set.

9.Statistik/Binomialfordelingen/Pascals trekant

Binomialkoefficienterne kan opstilles i en trekant som vist til højre. Nummeret på rækken/laget svarer til n, med n=0 øverst, og positionen i rækken talt fra venstre svarer til r.

At tallene kan opstilles i en trekant er der i sig selv intet i. Opdagelsen er imidlertid at ethvert tal i trekanten er lig summen af det skråt ovenfor til venstre og det skråt ovenfor til højre. 10 er fx summen af 4 og 6.

By Rohieb (Own work) [ CC0 ], via Wikimedia Commons


Denne "geometriske egenskab" for trekanten svarer til en relation mellem binomialkoefficienterne
n r     =     n − 1 r   +   n − 1 r − 1
EKSEMPEL
Hvis vi fx sætter n = 34 og r = 4, så siger Pascals formel at      k 34,4 = k 33,3 + k 33,4

I prosa betyder det at:

Antallet af måder man kan vælge et udvalg på 4 personer blandt 34, er lig summen af
antallet af udvalg på 3 personer der vælges blandt 33
og antallet af udvalg på 4 personer der kan vælges blandt 33.
BEVIS FOR PASCALS FORMEL
Beviset er elegant og i ren prosa.

Vi tænker at vi skal vælge r personer blandt n, det kan gøres på  k n,r måder.
Vi finder nu på at udpege en vilkårlig person som noget særligt. Vi kan fx tænke os hun har hat på.

Så er der to muligheder, enten er hatten med i udvalget eller også er den ikke.

Hvis hatten er med, er en person på forhånd udvalgt, og der skal kun vælges r-1 mere blandt de resterende n-1 personer.
Det kan gøres på k n-1,r-1 måder.

Hvis hatten ikke er med, skal der vælges r personer, men vi har kun n-1 personer at vælge imellem da hatten jo er diskvalificeret af præmissen.
Det kan gøres på k n-1,r måder.

Det må være sådan, at det samlede antal mulige udfald er summen af dem hvor hatten er med, plus alle dem hvor hatten ikke er med. Der er jo ikke andre muligheder. Når vi opskriver denne sum har vi netop det vi skulle vise: k n,r = k n-1,r-1 + k n-1,r  . Eller med den alternative notation n r     =     n − 1 r   +   n − 1 r − 1
EN ANVENDELSE AF BINOMIALKOEFICIENTER
Under kvadratsætningerne så vi at
a + b 2 = 1a 2 + 2 ab + 1b 2 Der er tilføjet koefficienten 1 på både a 2 og b 2 for at tydeliggøre at de tre koefficienter til de tre led netop er binomialkoefficienterne i 3 række i Pasclas trekant. 3.række svarer til n = 2.

Det viser sig, at det er en generel regel. Det er binomialkoefficienterne der optræder som koefficienter til ledende i potensopløftningen af en sum. Fx gælder der a + b 5 = 1 a 5 + 5 a 4 ⁢ b + 10 a 3 ⁢ b 2 + 10 a 2 ⁢ b 3 + 5 a ⁢ b 4 + 1 b 5 Igen ser vi at koefficienterne netop svarer til række 6 (hvor n er 5) i Pascals trekant. Så deeeet......

9.Statistik/Chi2 fordelingen

FORVENTNING TIL FEJLSTØRRELSE
Chi2-fordelingen er en kontinuert fordeling ligesom fx normalfordelingen er. Det særlige ved Chi2 er, at den udtrykker sandsynligheden for at få en afvigelse/fejl af en bestemt størrelse. Med afvigelsen menes et mål for forskellen mellem den forventede værdi og den aktuelt observerede værdi.

Hvis man fx vælger en tilfældig person i en population med en kendt middelhøjde, så giver Chi2-fordelingen os sandsynligheden for at den valgte  persons højde afviger med en given værdi i forhold til middel.
CHI2 ER EN APPRIXIMATION
Fordelingen af afvigelser fra det forventede afhænge af den konkrete fordeling af den variabel vi ser på. Men det viser sig, at når vi ikke ser på en en enkelt observation, men derimod mange observationer, så vil afvigelsen (beregnet på en bestemt måde, se eksempler længere fremme) mellem det forventede og observationerne som helhed være chi2-fordelt uanset hvilken situation vi ser på.

Mere præcist så gælder der approximativt: jo flere observationer vi har, des mere præcist kan vi beregne sandsynligheden for en given fejl ved hjælp af Chi2-fordelingen. Derfor bruger man i praksis ofte Chi2 selv om den egentlig kun gælder som tilnærmelse.

Påstanden om at vi altid nærmer os os Chi2 ved et stort antal observationer kræver naturligvis et bevis, men det ligger udenfor hvad vi her kan klare. Vi skal blot se hvordan Chi2 i praksis kan bruges.

9.Statistik/Chi2 fordelingen/Hypotesetest

Ofte er situationen sådan, at vi gerne vel beregne fx en middelværdi ud fra nogle observationer. En middelværdi er en af de størrelser der fastlægger en fordeling, så i givet fald forsøger vi altså at bestemme "vores bedste bud" på en fordeling ud fra observationerne.

Men i hypotesetest er situationen omvendt! Vi har på forhånd en hypotese (formodning) om hvordan data er fordelte og vi vil så teste denne hypotese på baggrund nogle aktuelle observationer.
DET SIMPLEST MULIGE EKSEMPEL
Hvis vi fx kaster en en mønt 100 gange og får 53 krone og 47 plat, så kan vi anskue situationen sådan, at vi ønsker at bestemme sandsynligheden for at få krone med den aktuelle mønt. Vores bud er så 53%.

Men ofte vil vi ikke se denne situation sådan. Vi vil på forhånd gå ud fra at mønten er "ærlig" dvs. vi har en hypotese om, at sandsynligheden for plat og krone er lige stor. Det er svært for os overhovedet at forestille os hvordan vi skulle lave en "snydemønt" hvis den skal ligne en almindelig flad og rund mønt. I stedet kan man spørge, hvad er sandsynligheden for at få et udfald der er lige så skævt eller mere skævt end 53/47, hvis mønten faktisk er ærlig?

Det viser sig at svaret er 55%. Så vi vil ikke på baggrund af de aktuelle100 kast forkaste vores hypotese om en ærlig mønt. De 55% må betragtes som "ganske sandsynligt", så der er intet alarmerende ved en skævhed på 53/47. Vi ved også godt at det faktisk vil være relativt sjældent at se et udfald 50/50 selv når p(krone) og p(plat) er helt ens.
NULHYPOTESE/ALTERNATIV HYPOTESE
Vores forventning udtrykker vi en en såkaldt nulhypotese. Mht til mønten ovenfor vil den være at "plat og krone er lige sandsynlige".

Den logiske modsætning kalder vi den alternative hypotese. Den går ud på at nulhypotesen ikke er sand, dvs i eksemplet at "plat og krone ikke er lige sandsynlige".

Formålet med vores hypotesetest er enten af bekræfte eller afkræfte nulhypotesen.
TO TYPER CHI2-TEST
Der er to forskellige situationer hvor vi kan bruge testen. Efter trin-for-trin opskriften herunder, er der et eksempel på begge testtyper.

9.Statistik/Chi2 fordelingen/Opskrift

GENEREL OPSKRIFT FOR BEGGE TESTTYPER

Uden bevis præsenteres her de konkrete trin der indgår i en Chi2-test.

1. Formulering af en nul-hypotese (og dermed også den alternative)

2. Beregning af forventede værdier

3. Beregning af teststørrelse

4. Beregning af antal frihedsgrader

5. opslag af p-værdi

6. konklusion på baggrund af signifikansniveau

Signifikansniveauet udtrykker hvor sikre vi ønsker at være, før vi forkaster 0-hypotesen. Det er en sandsynlighed og ofte bruger man værdien 5%. Men der er tale om et valg, så den kan også have andre værdier. Hvis det er en eksamensopgave vil det normalt være angivet.
Hvad de enkelte trin indebærer vil vi demonstrer via 2 eksempler et med GOF og et med uafhængighed.

I praksis kan de første 5 trin klares i et hug med matematik-software fx Maple. Så trin 2-5 incl behøver du ikke udføre manuelt til den skriftlige eksamen. Til den mundtlige derimod skal du kunne redegøre for de enkelte trin i detalje. Det gjort grundigt herunder.

9.Statistik/Chi2 fordelingen/GOF

GOF står for "goodnes of fit". (I Maple hedder funktionen i Gym-pakken: "ChiKvadratGOFtest").

Her drejer det sig om at teste, hvorvidt en fordeling af et observationssæt over en variabel  understøtter forventningen om en bestemt statisk fordeling af variablen. Det simplest tænkelige eksempel er en mønt fordi der kun er to udfald. Vores forventede statiske fordeling er i det tilfælde typisk 50% for krone og 50% for plat.

Et andet eksempel er en 6-sidet terning hvor der er 6 mulige udfald. GOF-testen undersøger om afstanden mellem fordelingens sandsynligheder og et observationssæts aktuelle frekvenser er troværdig.

Den typiske nul-hypotese vil være at terningen er ærlig, dvs at sandsynlighederne for alle udfald er lige store.
Men nul-hypotesen kunne også være en anden fordeling af sandsynlighederne.
EKSEMPEL MED 6-SIDET TERNING

Vi har kastet 60 gange med en terning og fået hyppighederne:

øjne
 1 2 3 4 5 6
hyppighed
 12 7 9 11 10 11


1. Vi vælger her som 0-hypotese at terningen er ærlig, dvs at alle frekvenser og dermed hyppigheder vil være lige store.

2. Der ofte ikke meget beregning i GOF mht de forventede værdier. Her forventer vi hyppigheden 10 for alle udfald da summen skal give 60.

3. Teststørrelsen beregnes generelt ved formlen
χ 2 = ∑ i = 1 n h i − f i 2 f i = h 1 − f 1 2 f 1 + h 2 − f 2 2 f 2 + .. .. .. + h n − f n 2 f n hvor h står for de observerede hyppigheder og f for de forventede hyppigheder. Indsætter vi vores data får vi:
χ 2 = 12 − 10 2 10 + 7 − 10 2 10 + 9 − 10 2 10 + 11 − 10 2 10 + 10 − 10 2 10 + 11 − 10 2 10 =1,6 Vores teststørrelse er altså 8/5 = 1,6.

4. Hvis der er n mulige udfald, kan man kun vælge hyppighederne for n-1 af dem "frit". Den sidste vil være bestemt af de resterende samt kravet om at de tilsamme skal give summen af alle observationer. Så i dette tilfælde hvor n er 6 er antallet af "frihedsgrader" 5.

5. p-værdien er sandsynligheden for at opleve en teststørrelse (fejl) der er større end eller lig den aktuelt beregnede som her  er 1,6. Sandsynligheden slås op som 1 minus værdien af fordelingsfunktionen for Chi2-fordelingen.
Grunden til at vi trækker fra 1 er at fordelingsfunktionen giver summen mod venstre. Vi skal imidlertid bruge summen mod højre, da vi skal finde sandsynligheden for en given fejl eller en større.

Opslaget foregår i software på grafregner eller via en tabel. I Maple er der i gympakken en funktion der hedder chicdf. Så med tallene fra dette eksempel laves opslaget: 1 - chicdf(5, 1.6) som giver: 0,9016.


6. Konklusionen er dermed, at sandsynligheden for at opleve et observationssæt der er lige så skævt eller endnu mere skævt er ca 90%, dvs det er meget sandsynligt. Med et signifikansniveau på 5%, vil vi acceptere 0-hypotesen, da 90% er langt større end vores signifikansniveau på 5%.

9.Statistik/Chi2 fordelingen/Uafhængighed

Når man har flere variable, kan man med Chi2 teste om de er uafhængige.  (I Maple hedder funktionen i Gym-pakken : "ChiKvadratUtest").

Vores nulhypotese vil så typisk være, at de to variable er uafhængige, og den alternative vil være, at de ikke er uafhængige dvs afhængige.

Et eksempel kunne være sammenhæng mellem vægten og højden af en person. I dette tilfælde forventer (ved) vi at der er en sammenhæng.

I testen undersøger vi sandsynligheden for at se en samlet afvigelse der er større end eller lig den vi aktuelt oplever for et konkret observationssætsæt. Hvis sandsynligheden er lille, for en  afvigelse der er lig med eller større end den vi konkret har observeret, forkaster vi hypotesen om uafhængighed. I modsat fald accepterer vi hypotesen.
EKSEMPEL MED  DATA I 2 VARIABLE
Nedenfor ses et fiktivt datasæt, der viser fordelinger for variablen: rig/fattig og en anden variabel: glad/trist for en population på 800 individer.
Vi vil undersøge om der er sammenhæng mellem rigdom og humør, dvs om de to variable afhænger af hinanden.

OBSERVATIONER

 Rig Fattig Sum
Glad 101
 399
 500
Trist 35
 265
 300
Sum 136 664 800



1. Som 0-hypotese vælger vi at der ingen sammenhæng er dvs uafhængighed.

2. Ved uafhængighedstest beregnes de forventede værdier ved at gange søjlesum med rækkesum og dividere med totalsummen.
Fx er tallet i øverste venstre hjørne i tabellen herunder beregnet som 136*500/800 = 85.

FORVENTEDE VÆRDIER

 Rig Fattig Sum
Glad 136*500/800 = 85
 664*500/800 = 415
 500
Trist 136*300/800 = 51
 664*300/800 = 249
 300
Sum 136 664 800

3. Teststørrelsen beregnes ved samme formel som i GOF, så vi indsætter værdier fra de to tabeller ovenfor og får: χ 2 = 101 − 85 2 85 + 399 − 415 2 415 + 35 − 51 2 51 + 265 − 249 2 249 = 9.6746 4. I dette tilfælde er antallet af frihedsgrader 1. Hvis summerne er kendt på forhånd, kan vi kun frit vælge en værdi i en 2*2 tabel.

Den generelle formel for antallet af frihedsgrader er (n-1)*(m-1) hvor n og m er antallet af mulige udfald for henholdsvis variabel 1 og variabel 2.

5. p-værdien bestemmes som i GOF-eksemplet ved et opslag fx i Maple : 1 - chicdf(1, 9.6746) = 0.0016.
Sandsynligheden for at se de observerede data, hvis rigdom og humør er uafhængige er altså mindre end 2 promille.

6. 0-hypotesen må altså droppes hvis blot signifikansniveauet er større end 0.002.
Vi konkluderer altså at humør er relateret til rigdom for populationen.

9.Statistik/Chi2 fordelingen/Kritisk værdi

Trin 5 og 6 kan samlet erstattes af en alternativ tilgang. I stedet for at slå p-værdien op, og undersøge om den ligger over signifikansniveauet, kan man på forhånd lave en tabel over hvilke teststørrelser der svarer til bestemte signifikansniveauer. Tabellen har en række for hver frihedsgrad.

Når antallet af frihedsgrader er beregnet og signifikansniveauet er kendt/valgt, slår man op i tabellen hvilken teststørrelse det svarer til.
Dette tal kaldes den kritiske værdi.
Hvis teststørrelsen beregnet i opskriftens punkt 4 er større end den kritiske værdi, er fejlen "for stor" og 0-hypotesen forkastes.
I modsat fald accepteres den.

.

.
GOF-EKSEMPLET
I eksemplet med terningen, var frihedsgraderne 5 og vores signifikans niveau 5%. Af tabellen fremgår (lyserød) at den kritiske værdi så er 11,07.
Dvs vi kan acceptere end teststørrelse på helt op til 11,07 før vi forkaster vores 0-hypotese.

I terninge-eksemplet var teststørrelsen meget mindre nemlig 1,6, så vi godkender 0-hypotesen med flag og hornmusik.

UAFHÆNGIGHEDSEKSEMPLET
I eksemplet med humør versus rigdom var antallet af frihedsgrader 1 og vælger vi en lav p-værdi på fx 1 fås en kritisk værdi på 6,63 (lyseblå). Vores teststørrelse var imidlertid 9,67 dvs større, så 0-hypotesen må droppes selv ved et lavt signifikansniveau.


Begge metoder giver samme resultat og er derfor lige gode. Metoden med tabellen forekommer måske lettere at forstå og især at forklare, fordi vi ikke behøver beregne p-værdien via et værktøj. Men tabellen er selvsagt begrænset, i og med at den kun har udvalgte signifikansniveauer med, og den går kun op til 20 frihedsgrader.

Når det drejer sig om skriftlige opgaver, er det absolut letteste blot at bruge Maple til atutomatisk at gøre det hele for en.

9.Statistik/Chi2 fordelingen/Løsning i Maple

I dette underkapitel ser vi på hvordan vi løser opgaver med både GOF-test og test for uafhængighed i maple. I Inspire foregår det på nogenlunde samme måde.

Der er værktøjer der kan løse hele opgaven automatisk inklusive både beregninger og figur. Så det I selv skal kunne, er at finde ud af hvilke af de to test I skal bruge, kende kommandoen, kunne taste tal rigtigt ind og ISÆR konkludere rigtigt til sidst.

Til den skriftlige eksamen står alt hvad i skal bruge her. Men man skal have forstået selve test-begrebet samt præcis hvad det er for en situation vi ser på for at kunne anvende de færdige værktøjer.

Alle de øvrige afsnit om Chi2 er derimod relevante hvis man trækker spørgsmålet til den mundtlige eksamen.
GOF (Goodnes og fit)
Her drejer det sig som nævnt om at teste, hvorvidt en fordeling af et observationssæt over en variabel  understøtter forventningen om en bestemt statisk fordeling af variablen.
Det betyder konkret i forhold til en opgave, at de data vi har er en-dimensionelle.

Den kommando man skal kende er ChiKvadratGOFtest(l1, l2). Som input i parentesen skal være to lister, en med de aktuelle hyppigheder og en med de forventede hyppigheder.
GOF EKSEMPEL   Vi ser på eksamenopgave 290:



Nulhypotese:
Poserne indeholder lige mange af hver farve.

Vi beregner de forventede værdier, som er den samme for alle farver, nemlig  gennemsnittet  (9+19+15+10+7)/5 = 12

Herefter foretager vi χ2-goodness-of-fit-test. Vi skriver kommandoen med aktuelle og forventede

ChiKvadratGOFtest([9, 19, 15, 10, 7], [12, 12, 12, 12, 12]);

.

10.Differentialligninger

10.Differentialligninger/Indhold

Llineære differentialligninger af 1. orden og logistiske differentialligninger, kvalitativ analyse af givne differentialligninger samt opstilling af simple differentialligninger og integration ved substitution.

Fokuspunkter: Begrebsforståelse, matematisk håndværk, brug af IT og matematisk ræsonnement.

Arbejdsformer: Lærerfremlæggelse, klassedialog, bevistræning ved tavle, opsamling, øvelser og opgaveregning med diskussion.

10.Differentialligninger/Indledning

DEFINITION MED EKSEMPEL
En differentialligning er en ligning der indeholder både en funktion og dens afledede. Dvs den ukendte variabel er ikke en konstant med en funktion, og løsningen til en differentialligning er en funktion. Når vi opskrive differentialligninger vil vi konsekvent i stedet for f(x) skrive y.  Lad os se på et eksempel
y ' = − k ⋅ y Denne ligning kan vi faktisk godt gætte en løsning til, fordi vi ved at eksponentialfunktioner differentieret giver sig selv.
Så løsningen vil være y=f(x) = N 0 *e -kx , hvor N 0 er antallet af kerner i begyndelsen.

Eksemplet beskriver henfald af radioaktivit stof. Mængden af stof vil aftage eksponentielt, og det viser sig at stemme meget nøje med virkeligheden. Årsagen er at differentialligningen udgør en model som beskriver verden rigtigt godt. Til enhver tid vil der være en fast sandsynlighed for at en given atomkerne af det radioaktive stof henfalder (og forsvinder i det en omdannes til noget andet).
Det er netop det forhold differentialligningen udtrykker: antallet af kerner der forsvinder på et givet tidsrum er proportionalt med det aktuelle antal kerner.

Differentialligninger er altså en matematisk beskrivelse af sammenhænge. Løsningerne er funktioner der beskriver den udvikling sammenhængende fører til. Typisk er det funktioner af tid eller sted, men det kan også være funktioner af andre variable.
GRAFISK
EKSEMPEL
Her ser vi på ligningen y' = x-x*y.

I ethvert punkt i kan vi beregne y' ved at indsætte. Fx er y' i punktet P= (1,3) : 1-1*3 = -2.

Det betyder at hældningen af tangenten til en løsning gennem dette punkt er -2. På samme måde kan vi i hele planen tegne små "tangent-stykker" også kaldet linjeelementer. Disse visualiserer de mulig løsninger, og "følger" man dem giver de et indtryk af løsningerne. På figuren er indtegnet hele grafer for to mulige løsninger.

Vi kan altså beregne tangenter og visualisere alle de mulige løsninger uden rent faktisk at løse ligningen, dvs uden at finde forskrifter for løsningerne.

.

LIGNING FOR TANGENT
Som nævnt ovenfor kan vi bestemme tangenter til en differentialligning uden at løse selve ligningen. Vi kan bestemme tangentens ligning, og den slags opgaver forekommer hyppigt i den skriftlige prøve uden hjælpemidler.

I eksemplet ovenfor havde vi i punktet P=(1,3) hældningen -2. Derfor kan tangentligningen bestemmes på samme måde som vi før har i kapitlerne om differentialregning. Hældningen er -2 så a i linjens ligning er -2. Ligningen er derfor på formen:

y = -2x+b

b kan bestemmes ved at indsætte P's koordinater, så b er : 3-(-2)*1=5.

Tangentens ligning er derfor   y = -2x +5
FULDSTÆNDIG LØSNING VERSUS PARTIKULÆR LØSNING
Den simplest tænkelige variant af en differentialligning har vi faktisk allerede set på i et tidligere kapitel. Ligninger af typen y'=f(x) løser vi jo ved  at finde stamfunktion til f, vi ved at løsningen er y = F(x) + k, hvor F(x) er en stamfunktion til f og k er en vilkårlig konstant.

Allerede her så vi et karakteristisk træk. Løsningen inderholder en konstant som ofte kan antage alle værdier i R. Dette kalder vi den fuldstændige løsning.

Men det kan jo være vi ved noget mere. Fx ved vi måske at vores løsning går gennem et bestemt punkt, sådan at fx y(2)=0. Dette krav vil føre til at vi kan bestemme værdien af k. Når vi angiver en bestemt løsning med en bestemt k-værdi, taler vi om en partikulær løsning.

Den fuldstændige løsning er altså den generelle løsning hvor alle muligheder er medtaget, og den partikulære er en enkelt løsning der på en eller anden måde er udvalgt.

10.Differentialligninger/Panserformlen

SÆTNING
Den fuldstændige løsning til den generelle lineære 1.ordens differentialligning y ' + h x ⋅ y = g x er y = e − H x ∫ e H x ⋅ g x ⅆ x
FORARBEJDE TIL BEVIS  
Vi laver først lidt benarbejde, idet vi vil benytte substitutionen y = e − H x ⋅ z Vi vil finde y' og ser at vi skal differentiere et produkt. Det giver: y ' = − h x ⋅ e − H x ⋅ z + e − H x ⋅ z '
BEVIS
I vores differentialligning y ' + h x ⋅ y = g x substituerer vi nu med udtrykkene for både y og y' − h x ⋅ e − H x ⋅ z + e − H x ⋅ z ' + h x ⋅ e − H x ⋅ z = g x Det første og tredje led på begge (røde) ophæver hinanden, og vi ganger med e H(x) på begge sider z ' = e H x ⋅ g x Herefter integrerer vi på begge sider z = ∫ e H x ⋅ g x ⅆ x Vi har nu z og det indsætter vi i udtrykket for y (fra substitution) y = e − H x ⋅ ∫ e H x ⋅ g x ⅆ x
KONSTANTEN I STAMFUNKTIONEN H(X)
En vilkårlig stamfunktion til h(x) indeholder en konstant, så hvis H 0 (x) er en stamfunktion til h(x) er en vilkårlig stamfunktion på formen: H 0 (x)+k. Indsætter vi det i panserformlens eksponentielle faktorer får vi
y = e − H 0 x -k ⋅ ∫ e H 0 x + k ⋅ g x ⅆ x Regnereglerne for potenser giver os mulighed for at trække konstanten k ud som en faktor begge steder
  y = e − H 0 x ⋅ e − k ⋅ ∫ e H 0 x ⋅ e k ⋅ g x ⅆ x Faktoren e k kan trækkes uden for integraltegnet og den går ud med faktoren e -k y = e − H 0 x ⋅ ∫ e H 0 x ⋅ g x ⅆ x Konklusionen er, at vi altid kan vælge en vilkårlig konstant (fx k=0) i stamfunktionen for h(x) uden at det influerer på fuldstændigheden af løsningen. (Vi bemærker at der stadig er en anden ubestemt konstant gemt i integrationstegnet i panserformlen.)
TILFÆLDET g(x)=0
Vi indsætter 0 på g(x)'s plads i panserformlen. Integranden bliver dermed 0, og integralet blot en konstant. Vi har så
y = c ⋅ e − H x Hvis vi kan bestemme en stamfunktion til h(x) er løsningen ligetil.

EKSEMPEL
h(x) = x.   Så er en stamfunktion til h(x) H(x) = ½x 2 og løsningen er så 
y = c ⋅ e − 1 2 x
TILFÆLDET h(x)=a og g(x)=b
Når a er en konstant er en stamfunktion H(x)=ax. Indsættes dette samt g(x)=b i panserfomlen får vi
y = e − ax ⋅ ∫ e ax ⋅ b   ⅆ x = e − ax ⋅ ( b ⋅ 1 a ⋅ e ax + c 0 ) = b a + c 0 ⋅ b a e − ax = b a + c ⋅ e − a x

10.Differentialligninger/Logistisk vækst

SÆTNING
Den fuldstændige løsning til differentialligningen y ' = aMy − ay 2 er y = M 1 + c ⋅ e − aMx y=0 er også en løsning. (Man kan se det sådan at den svarer til at c er uendelig.)
FORARBEJDE TIL BEVIS   
Vi laver først lidt benarbejde, idet vi vil benytte substitutionen *(se slutnote) y = e aMx ⋅ z − 1   Vi vil finde y' og ser at vi skal differentiere et produkt. Så vi sætter: f = e aMx   ⇒   f ' = e aMx ' = aMe aMx g = z − 1   ⇒   g ' =   z − 1 ' = − z − 2 ⋅ z ' y' er så f' * g + f * g' dvs. y ' = aMe aMx ⋅ z − 1 − e aMx z − 2 ⋅ z '  
BEVIS
I vores differentialligning y ' = aMy − ay 2   substituerer vi nu med udtrykkene for både y og y' aMe aMx ⋅ z − 1 − e aMx z − 2 ⋅ z ' = aM e aMx ⋅ z − 1 − a e aMx ⋅ z − 1 2 Det ses at de to første led på begge sider er ens går de ud. Efter kvadratet til højre ganges ud får vi − e aMx ⋅ z − 2 ⋅ z ' = − a e aMx 2 ⋅ z − 2 Vi kan nu gange med z 2 på begge sider og dividere med e aMx på begge sider z ' = ae aMx Nu har vi en ligning hvor løsningen blot er integralet z = 1 M e aMx + c Vi har nu z, og den indsætter vi i udtrykket for y (fra substitutionen)
y = e aMx ⋅ z − 1 = e aMx 1 M e aMx + c 0   Vi forkorter med e aMx , forlænger med M og omdøbe M*c 0 til c y = M 1 + c ⋅ e − aMx SLUTNOTE
Vores substitution tillader ikke at y er 0. Det ses imidlertid let af den oprindelige differentialligning at y=0 også er en løsning.
HVORNÅR ER LOGISTISK VÆKST EN GOD MODEL?

Højresiden i differentialligningen kan også skrives
y ' = ay M − y Her af ses at væksten for små værdier af y er proportional med y. Dvs når y er meget lille vil vi have en vækst der er tæt på eksponentiel. Når y bliver større begynder leddet (M-y) at spille en rolle, når y bliver lige så stor som M er væksten faktisk 0. Det betyder at logistisk vækst er en model for vækst under forhold med begrænsede ressourcer.

Vi kan fx tænke på menneskets vækst på planeten jorden. Det er imidlertid en kompliceret situation, hvor mange forhold spiller ind. Men vi kan forsimple situationen, så modellen virker mere plausibel. Hvis man fx sætter nogle få får ud på en ellers tom ø ved Færøerne, vil væksten i begyndelsen forventeligt være eksponentiel. Antallet af lam vil være proportionalt med antallet af får. Men fårene lever af vegetationen på øen, og vegetationen vil have en begrænset årlig vækst. Så når der er kommet mange får vil antallet stagnere fordi der ikke længere er føde nok.

Her til højre er den karakteristiske graf f, for logistisk vækst vist. Vi ser at væksten flader ud mod y = M. Vi ser også at væksten i begyndelsen er stigende og senere faldende.

Det viser sig at grafen er symmetrisk om midtpunktet A, hvor væksten er maksimal. Det er vendetangent i A, ( f''(x) = 0 )  og tangenthældningen er maksimal.

Den stiplede blå line øverst viser forløbet hvis y er større end M. Så nærmer værdien sig også M men oppefra i stedet. I vores eksempel svarer det til, at man fra begyndelsen landsætter flere får på øen, end den kan brødføde. Så dør nogle af dem af sult.

.




SAMMENHÆNGEN MELLEM y OG y'

Vi vender nu tilbage til den oprindelige højreside i ligningen
y ' = aMy − ay 2
Vi ser at det er et 2.gradspolynomium i y. I et koordinatsystem med y på 1-aksen og y' på 2. aksen er grafen for en vilkårlig løsning en parabel.

Parablens toppunkt er der hvor væksten er størst, så det svarer til vores punkt A på foregående figur. Koordinaterne til toppunktet i (y, y') systemet kan findes ved toppunktsformlen.
y = − b 2 a = − aM − 2 a = M 2  y ' = b 2 − 4 ac 4 a = − aM 2 − 4 a = 1 4 aM 2 Vi har nu bevist at væksten er maksimal når populationen (y) har den halve af sin maksimale størrelse. Vi har også beregnet størrelsen af den maksimale vækst.

.



Studieinfo

Studieinfo/Pensum

Pensum er indholdet af alle de nummererede kapitler i denne bog. Hverken mere elle mindre.

Studieinfo/Kernestof

– regningsarternes hierarki, det udvidede potensbegreb, rationale og irrationale tal, ligningsløsning med analytiske og grafiske metoder og med brug af it-værktøjer

– formeludtryk til beskrivelse af ligefrem og omvendt proportionalitet samt polynomielle sammenhænge, eksponentielle sammenhænge og potenssammenhænge mellem variable

– simple statistiske metoder til håndtering af et datamateriale, grafisk præsentation af et statistisk materiale, empiriske statistiske deskriptorer, stikprøvers repræsentativitet og chi-i-anden test

– forholdsberegninger i ensvinklede trekanter og trigonometriske beregninger i vilkårlige trekanter, vektorer i to og tre dimensioner givet ved koordinatsæt, anvendelser af vektorbaseret koordinatgeometri til opstilling og løsning af plan- og rumgeometriske problemer

– begrebet f(x), karakteristiske egenskaber ved følgende elementære funktioner: lineære funktioner, polynomier, eksponential-, potens- og logaritmefunktioner, cosinus og sinus, karakteristiske egenskaber ved disse funktioners grafiske forløb, anvendelse af regression

– definition og fortolkning af differentialkvotient, herunder væksthastighed og marginalbetragtninger, afledet funktion for de elementære funktioner samt regnereglerne for differentiation af f + g, f - g, k · f, f · g og f ° g, udledning af udvalgte differentialkvotienter

– monotoniforhold, ekstrema og optimering samt sammenhængen mellem disse begreber og differentialkvotient

– stamfunktion for de elementære funktioner, ubestemte og bestemte integraler, regneregler for integration af f + g, f - g og k · f samt integration ved substitution, bevis for sammenhængen mellem areal- og stamfunktion, rumfang af omdrejningslegemer

– lineære differentialligninger af 1. orden og logistiske differentialligninger, kvalitativ analyse af givne differentialligninger samt opstilling af simple differentialligninger

– principielle egenskaber ved matematiske modeller, modellering.


Eleverne vil ikke kunne opfylde de faglige mål alene ved hjælp af kernestoffet. Det supplerende stof i matematik A, herunder samspillet med andre fag, skal perspektivere og uddybe kernestoffet, udvide den faglige horisont og give plads til lokale ønsker og hensyn på den enkelte skole.

For at eleverne kan leve op til alle de faglige mål, skal det supplerende stof, der udfylder ca. 75 timer, blandt andet omfatte sammenhængende forløb:

– med vægt på ræsonnement og bevisførelse inden for infinitesimalregning samt deduktive forløb over udvalgte emner

– om differentialligningsmodeller

– med anvendelse af yderligere mindst én type statistisk eller sandsynlighedsteoretisk model

– med bearbejdning af autentisk talmateriale

– om matematik-historiske emner.

Studieinfo/Eksamen

DEN SKRIFTLIGE PRØVE

Til den skriftlige prøve gives der fem timer. Det skriftlige eksamenssæt består af opgaver stillet inden for kernestoffet og skal evaluere de tilsvarende faglige mål som beskrevet i pkt. 2.1. Prøven er todelt. Første delprøve skal besvares uden brug af andre end særligt tilladte hjælpemidler. Efter udløbet af første delprøve afleveres besvarelsen heraf.

Under den anden del af prøven må eksaminanden benytte alle hjælpemidler. Kommunikation med omverdenen er ikke tilladt. Endvidere er brug af internettet ikke tilladt, jf. dog § 15, stk. 2, i den almene eksamensbekendtgørelse.

Opgaverne til denne del af prøven udarbejdes ud fra den forudsætning, at eksaminanden råder over CAS-værktøjer, der kan udføre symbolmanipulation, jf. pkt. 3.3.


DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER (fra undervisningsvejledningen)

Til denne delprøve forventes eleven at kunne:

Forståelsesindhold:
− Opstille enkle formler, ligninger og differentialligninger ud fra en sproglig beskrivelse
− Redegøre for konstanternes betydning i det grafiske forløb for første- og andengradspolynomier samt eksponentielle funktioner
− Fortolke konstanter i lineære og eksponentielle vækstmodeller
− Anvende viden om fordoblings- og halveringskonstant for eksponentiel vækst
− Anvende viden om sammenhængen mellem afledet funktion og monotoniforhold
− Fortolke værdien af afledet funktion
− Aflæse væksthastighed grafisk
− Anvende viden om sammenhængen mellem stamfunktion, bestemt integral og areal

Formelindhold:
− Anvende nulreglen og løse simple første- og andengradsligninger
− Anvende kvadratsætningerne og reducere udtryk
− Sætte tal ind i formler
− Anvende Pythagoras’ læresætning
− Foretage beregninger i ensvinklede trekanter
− Isolere ukendte størrelser
− Bestemme regneforskrifter for lineære og eksponentielle funktioner
− Differentiere polynomier, e x , ln(x)  og x a , herunder 1/x og kvadratroden af x 
− Anvende de regneregler for differentiation, som er beskrevet i kernestoffet
− Bestemme en tangentligning
− Bestemme integraler af polynomier, e x , x a og 1/x 
− Anvende de regneregler for integration, som er beskrevet i kernestoffet
− Redegøre for om en given funktion er en løsning til en differentialligning
− Anvende reglerne for vektorregning
− Anvende vektorielle værktøjer til at svare på spørgsmål om ortogonalitet, parallelitet og areal
− Opstille parameterfremstillinger og ligninger for linjer i planen
− Omskrive cirkelligninger med henblik på at bestemme centrum og radius.”

BEDØMMELSE AF OPGAVEBESVARELSEN

I undervisningsvejledningens afsnit 4.2.3 hedder det: ”I alle prøvesæt til skriftlig eksamen i matematik ind-går de enkelte spørgsmål med samme vægt i bedømmelsen. Det er tydeligt markeret, hvad der forstås ved et spørgsmål. Et spørgsmål kan indeholde delspørgsmål.  I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål vil der indgå både en vurdering af den matematiske korrekthed, og om eksaminandens tankegang fremgår klart af besvarelsen. I alle skriftlige prøvesæt er dette helhedsindtryk beskrevet i de følgende fem kategorier:  

− Tekst. Besvarelsen skal indeholde en forbindende tekst fra start til slut, der giver en klar præsentation af, hvad den enkelte opgave og de enkelte delspørgsmål går ud på.

− Notation og layout. Der kræves en hensigtsmæssig opstilling af besvarelsen i overensstemmelse med god matematisk skik, herunder en redegørelse for den matematiske notation, der indføres og anvendes, og
som ikke kan henføres til standardviden.

− Redegørelse og dokumentation. Besvarelsen skal indeholde en redegørelse for den anvendte fremgangs-måde og dokumentation i form af et passende antal mellemregninger og/eller en matematisk forklaring på brugen af de forskellige faciliteter, som et værktøjsprogram tilbyder.

− Figurer. I besvarelsen skal der indgå en hensigtsmæssig brug af figurer og illustrationer, og der skal være en tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer.

− Konklusion. Besvarelsen skal indeholde en afrunding af de forskellige spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret i et klart sprog og/eller med brug af almindelig matematisk notation."

DEN MUNDTLIGE PRØVE

Den mundtlige prøve skal inddrage gennemførte projektforløb og temaopgaver. De endelige spørgsmål til den mundtlige prøve skal være kendt af eksaminanderne inden prøven og skal tilsammen dække de faglige mål og det faglige indhold. En betydelig del af eksamensspørgsmålene skal være udformet således, at det er muligt at inddrage gennemførte projektforløb og temaopgaver med tilhørende elevrapporter. Spørgsmålene og en fortegnelse over rapporter og undervisningsforløb sendes til censor forud for prøvens afholdelse.

Det enkelte spørgsmål skal udformes med en overskrift, der angiver det overordnede emne for eksaminationen og med konkrete delspørgsmål.

Eksaminationstiden er ca. 30 minutter pr. eksaminand. Der gives ca. 30 minutters forberedelsestid.

Prøven er todelt.

Første del af prøven består af eksaminandens præsentation af sit svar på det udtrukne spørgsmål suppleret med uddybende spørgsmål.

Anden del former sig som en samtale med udgangspunkt i det overordnede emne.

Studieinfo/Eksamensspørgsmål

1  Polynomier, med hovedvægt på 2.grad
    Forskrift og graf. Løsning af andengradsligning med bevis.
    Toppunkt, symmetri og faktorisering.
    1. og 2. aflede med fortolkning.
   
2  Polynomier med hovedvægt på 3.grad.
    Forskrift, graf og symmetri.
    Rødder, ekstrema og vendepunkter.
    1. og 2. aflede med fortolkning.
       
3  Vækstmodeller
    De principielle forskelle mellem lineær, eksponentiel og potensiel vækst.
    Bestemmelse af ligning ud fra to kendte punkter med bevis samt regression.
    Logistisk vækst.
       
4  Sinus og cosinus
    Konstruktion ud fra enhedscirklen. Brug i retvinklede trekanter.
    Sinus- og cosinusrelationerne med bevis for mindst den ene.
    Harmoniske svingninger og sinuskurve.
    1. og 2. aflede og ligningen y'' = -k 2 y.

5  Differentialregning
    Differentialkvotient. Differentiabel funktion.
    Differentiation af centrale funktioner med udvalgte beviser.
     
6  Differentialregning
    Differentialkvotient. Differentiabel funktion.
    Regneregler for differentialkvotient med udvalgte beviser.

7  Differentialregning
    Differentialkvotient. Differentiabel funktion.
    Tangentens ligning. Optimering.

8  Integralregning
    Stamfunktion og regneregler for ubestemte integraler.
    Arealfunktionen med bevis og bestemte integraler.
    Perspektivering til differentialligninger.
   
9  Integralregning
    Stamfunktion. Arealfunktionen og bestemt integral.
    Regneregler for bestemte integraler.
    Omdrejningslegemer
    Perspektivering til differentialligninger.

10 Binomialfordelingen.
     Uafhængighed, formel for sandsynligheder og binomialkoefficienter.
     Pascals trekant med bevis.
     Evt lidt om grupperet og ugrupperet statistik.

11 χ2-test.
    Test for "goodnes of fit" og uafhængighed.
    Teststørrelse, frihedsgrader, kritisk værdi og signifikansniveau.
     Evt lidt om grupperet og ugrupperet statistik,

12 Vektorer og plangeometri
     Prikprodukt, vinkel mellem vektorer og projektion af en vektor på en vektor med mindst et bevis.

13 Vektorer og rumgeometri
     Krydsprodukt for vektorer med anvendelser.
     Ligning for plan.
     Projektion af vektor på vektor og afstand fra punkt til plan med mindste et bevis.

14 Vektorer og afstande
    Afstand mellem punkter, længde af vektorer.  Kuglens ligning.
    Afstand mellem punkt og (plan, kugle eller linje), med mindst et bevis.

15 Vektorer og parameterfremstillinger
     Parameterfremstilling for linje og plan.
     Ligning for plan.
     Skæring og vinkel mellem plan og linje.

16 Differentialligninger
     Udgangspunktet er den fuldstændige løsning til differentialligninger af typen
     y’ + h(x)∙y = g(x)

17 Differentialligninger
     Udgangspunktet er den fuldstændige løsning til differentialligninger for logistisk vækst
     der kan skrives:     y’ = aMy –ay 2   eller y’ = a∙(M –y)∙y  

18 Differentialligninger
     Udgangspunktet er den fuldstændige løsning til differentialligninger af typen

    y’ = k∙y  og  y’ = b - a∙y    ved hjælp af panserformlen.


Studieinfo/Installation af Maple

Uanset operativsystem skal du bruge 2 filer:
- en almindelig installationsfil til Maple
- en meget mindre fil der installerer "GymUpgrade" som er en lille tillægspakke til danske gymnasieelever.

INSTALLATION AF MAPLE
Du skal FØRST installere og aktivere Maple før du installerer tillægspakken.
Det kan tage lang tid, måske 20 minutter at hente den store fil. Klik så på den hentede fil for at installere Maple.
Under installationen skal du først acceptere licensbetingelserne og dernæst blive du stillet en række spørgsmål.
Acceptere det som installationsprogrammet foreslår, (vælg single-user licens) men fjern evt  fluebenet ud for ”Check for Updates now”. (Så sparer du lidt tid, du kan upgrade senere, hvis det er relevant)

AKTIVERING
Når Maple er installeret skal du aktivere programmet.
Koden (gyldig til 1. august 2019) er:                                     FM2KKS9LF656Y7TC


Når koden er indtastet kommer der en formular, hvor du bliver bedt om at indtaste forskellige oplysninger.
Kun de felter med rød skrift skal udfyldes.
Hvis du ikke ønsker mails fra Maple, så skal du fjerne fluebenene i de fire kasser nederst i formularen.
Når det er gjort burde der komme et lille vindue, hvor der står at aktiveringen var succesfuld.


INSTALLATION AF GYM-PAKKEN
Derefter skal du hente den såkaldte GYM-pakke og installere den. Dvs. du skal hente den fil med ”GYMUpgrade” i navnet. Når den er hentet, så skal den installeres. Også her bliver du stillet en del spørgsmål undervejs. Accepter det som programmet foreslår, dvs. klik Next i hvert vindue.


HER ER FILER TIL BÅDE MAPLE OG GYMPAKKE
Har du MAC skal du bruge følgende filer:
Maple...MacInstaller.dmg
Maple...MacGYMUpgrade.dmg

Har du WINDOWS 7 64bit, WINDOWS 8 eller WINDOWS 10  skal du bruge følgende:
Maple...WindowsX64Installer.exe
Maple...WindowsX64GYMUpgrade.exe

Herunder ser du skolens arkiv med filerne. Klik på dem du skal bruge for at downloade.


move me--> or-->
12345678910
2








3








4








5








6








7








8








9








10